Exercícios Resolvidos de Singularidade

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 308-12.

Calcule o fluxo do campo

F x ,   y ,   z = ( 2 x ,   - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ,   y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 )

Através da superfície S   definida pelas equações

x 2 4 + y 2 9 + z 2 25 = 1     ,                           z 0 x 2 4 + y 2 9 = 1     ,                     - 3 z 0 z =   - 3           ,                                 x 2 4 + y 2 9 1

Passo 1

Primeiro vamos fazer um rascunho da imagem para entender melhor o problema!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Está vendo a raiz no campo, bom devemos ficar atentos! Raiz e frações são sinais de singularidades, e aqui temos os dois!

O denominador x 2 + y 2 + z 2 , deve ser diferente de zero! Então o ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) é uma singularidade.

Como dentro da raiz temos uma soma de quadrados, que é sempre maior que zero, a origem é a única singularidade!

Para retirar esta singularidade vamos definir uma esfera centrada na origem de raio R bem pequeno!

Assim, o Teorema de Gauss pode ser aplicado como,

S 1   F . n   d S + S   F . n   d S = W   F   d V

Passo 3

Vamos começar calculando o divergente do campo,

F =   F 1 x +   F 2 y + F 3 z

F = 2 + y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + - y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 = 2

Assim,

W   F   d V = 2 V W

Passo 4

Agora precisamos calcular o volume do sólido:

Volume do elipsoide, lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

V o l u m e e l i p s o i d e = 4 3 π   a b c

Onde a , b , c são as raízes dos denominadores de x 2 , y 2 e z 2 (os semeixos do elipsoide):

a = 2

b = 3

c = 5

Portanto, como queremos metade do elipsoide:

V e = 1 2 4 3 π   a b c = 20 π  

Volume do cilindro elíptico, a área de uma elipse é dada por:

a e = π a b

Onde a , b são as raízes dos denominadores de x 2 e y 2 (os semeixos da elipse), assim, o volume do cilindro é V c = π a b H , com a = 2 , b = 3 e H = 3 :

V c = π a b H = π 2 3 3 = 18 π

Volume da esfera de raio R :

V e s f = 4 3 π R 3

Por fim,

2 V w = 2 20 π + 18 π - 4 3 π R 3 = 76 π - 8 3 π R 3

Passo 5

Vamos calcular, S 1   F . n   d S , que representa o fluxo do campo que passa pela esfera de raio R . Para isso vamos parametrizar a esfera por:

φ θ , ϕ = ( R s e n ϕ c o s θ ,   R s e n ϕ s e n θ ,   R c o s ϕ )

0 ϕ π

0 θ 2 π

Vamos ver quanto dá esse vetor normal da esfera:

φ ϕ = Rcos θ cos ϕ , R s e n θ cos ϕ , - R s e n ϕ

φ θ = - R s e n θ s e n ϕ , Rcos θ s e n ϕ , 0

Calculando o produto vetorial:

n =   φ ϕ × φ θ = i j k Rcos θ cos ϕ R s e n θ cos ϕ - R s e n ϕ - R s e n θ s e n ϕ Rcos θ s e n ϕ 0

n =   φ ϕ × φ θ =   R 2 s e n 2 ϕ cos θ , R 2 s e n 2 ϕ s e n θ , R 2 s e n ϕ cos ϕ

n =   φ ϕ × φ θ =   R 2 s e n ϕ s e n ( ϕ ) cos θ , s e n ( ϕ ) s e n θ , cos ϕ

S 1   F . n   d S =   S 1   2 R s e n ϕ c o s θ ,   - c o s ϕ ,   s e n ϕ s e n θ R 2 s e n ϕ s e n ϕ cos θ , s e n ϕ s e n θ , cos ϕ d S

S 1   F . n   d S = 0 π 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 θ - R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ + R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ ) d θ d ϕ

S 1   F . n   d S = 0 π 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 θ ) d θ d ϕ

S 1   F . n   d S = 0 π 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ 1 + c o s 2 θ 2 d θ d ϕ

S 1   F . n   d S = 0 π 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ θ 2 + s e n 2 θ 4 0 2 π d θ d ϕ

S 1   F . n   d S = π 0 π 2 R 3 s e n 3 ϕ d ϕ

S 1   F . n   d S = 2 π R 3 0 π s e n 2 ϕ s e n ϕ d ϕ

Para resolver esta integral vamos usar:

u = c o s ϕ

d u = - s e n ϕ d ϕ

Ainda,

s e n 2 ϕ = 1 - cos 2 ϕ = 1 - u 2

Assim, teremos:

S 1   F . n   d S = 2 π R 3 1 - 1 u 2 - 1 d u

S 1   F . n   d S = 2 π R 3 u 3 3 - u 1 - 1 = 8 π R 3 3

Como a normal a esta espera está apontando para fora do sólido, o que significa estar apontando para a origem:

S 1   F . n   d S = - 8 π R 3 3

Passo 6

Finalmente!! Teremos:

S 1   F . n   d S + S   F . n   d S = W   F   d V

S   F . n   d S = W   F   d V - S 1   F . n   d S  

S   F . n   d S =   76 π - 8 3 π R 3 - - 8 π R 3 3 = 76 π  

S   F . n   d S = 76 π

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