Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , onde

F → x , y , z = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + z 3 3 k →

E S é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , orientada pela normal unitária exterior N → .

Passo 1

Essa função é realmente complicada, se tentarmos parametrizar a superfície S , que é um elipsoide, como temos x 2 + y 2 + z 2 na função F é interessante tentarmos usar o teorema de Gauss, isso porque é de boa escrever a superfície em coordenadas esféricas.

Vamos separar essa F → em duas funções F 1 e F 2 onde

F 1 = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 2

E

F 2 = z 3 3 k

A integral vai ser a soma da integral de superfície de F 1 mais F 2 , vamos aplicar Gauss nas duas mas separamos porque uma vai dar um problema por não ter a origem definida, mas a outra é de boa facin de resolver.

Na F 1 não podemos aplicar o teorema de Gauss direto, mas podemos pegar uma segunda superfície S 2 sendo uma esfera de raio r que vai estar dentro do elipsoide.

S 2 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ r

Ele vai estar dentro porque basta considerarmos r < 1 e os eixos do elipsoide são 1 , 2 e 3 todos maiores ou iguais a 1 , então essa esfera está dentro do elipsoide.

Vamos agora ao teorema de Gauss, primeiro em F 1 .

∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S 2   F 1 → . N → d σ = ∭ W d i v F 1 → d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S ∪ S 2 .

Aplicando, agora, em F 2 , como não temos problemas com a função F 2 é só aplicar o teorema direto

∬ S   F 2 → . N → d σ = ∭ W d i v F 2 → d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S .

Passo 2

Vamos começar achando a integral de superfície em F 1

∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S 2   F 1 → . N → d σ = ∭ W d i v F 1 → d x d y d z

Vamos começar achando a integral de superfície de S 2 , primeiro vamos ver como podemos escrever a parametrização de S 2 que é uma esfera de raio r , então temos

S 2 θ , ϕ = r ∙ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r ∙ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r ∙ cos ⁡ ϕ

S 2 θ , ϕ = r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r cos ⁡ ϕ

Com θ ∈ 0,2 π e ϕ ∈ 0 , π

Vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , ϕ = ∂ S 2 ∂ θ × ∂ S 2 ∂ ϕ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ S 2 ∂ θ = - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

∂ S 2 ∂ ϕ = r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ , - r sen ⁡ ϕ

O vetor normal vai ser

N θ , ϕ = i j k - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - r sen ⁡ ϕ

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 0 j + - r 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j - 0 i

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

Repara que esse vetor esse vetor está todo negativo, isso vai fazer ele sempre apontar para dentro da esfera, então ele está com a orientação correta que queremos que é apontar para fora de W .

Passo 3

Vamos calcular a integral de superfície

∬ S 2   F → . N → d σ

Repara que a função vai ser

F → = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 k →

F → = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Substituindo os valores da superfície S 2 , é importante entender que aquele denominador vai ser 1 isso porque

x 2 + y 2 + z 2

⇒ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 + cos ⁡ ϕ 2

⇒ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

⇒ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

⇒ 1 sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

⇒ 1

A integral vai ficar

∬ S 2   F → S 2 ∙ N → θ , ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 1 3 2 , sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ 1 3 2 , cos ⁡ ϕ 1 3 2 - sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , - sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ , - sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - sen 3 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - sen 3 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - sen 3 ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - sen ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ ϕ = 0 π d θ

⇒ ∫ 0 2 π cos ⁡ π - cos ⁡ 0 d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 1 - 1 d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 2 d θ

⇒ - 2 θ 0 2 π

⇒ - 4 π

Passo 4

Vamos para a integral tripla agora, primeiro vamos achar o divergente

d i v F 1 → = ∂ F 1 x ∂ x + ∂ F 1 y ∂ y + ∂ F 1 z ∂ z

d i v F 1 → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 → = 0 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 → = 0

Passo 5

Voltando para a integral no início do passo 2

∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S 2   F 1 → . N → d σ = ∭ W d i v F 1 → d x d y d z

Então vamos ter

∬ S   F 1 → . N → d σ + - 4 π = 0

∬ S   F 1 → . N → d σ = 4 π

Passo 6

Vamos agora para F 2

∬ S   F 2 → . N → d σ = ∭ W d i v F 2 → d x d y d z

Aqui o divergente vai ficar

d i v F 2 → = ∂ F 2 x ∂ x + ∂ F 2 y ∂ y + ∂ F 2 z ∂ z

d i v F 2 → = 0 + 0 + 3 z 2 3

d i v F 2 → = z 2

Então a integral vai ficar

∭ W d i v F 2 → d x d y d z = ∭ W z 2 d x d y d z

Passo 7

Vamos resolver aquela integral tripla, para isso vamos usar coordenadas esféricas, mas dando uma adaptada ao elipsoide.

x = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = 2 ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = 3 ρ cos ⁡ ϕ

Esse 2 e 3 são os eixos do elipsoide, assim vamos ter ρ entre 0 e 1 , mas temos que ficar atentos que o jacobiano vai ficar multiplicado por 2 e 3 .

J = 6 ρ 2 sen ⁡ ϕ

Como temos o elipsoide completo vamos ter θ ∈ 0,2 π e ϕ ∈ 0 , π

A integral vai ficar

∭ W z 2 d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 3 ρ cos ⁡ ϕ 2 6 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 9 ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ 6 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

⇒ 54 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ 4 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

⇒ 54 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 5 5 ρ = 0 1 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ 54 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 5 5 - 0 5 5 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ 54 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 5 cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ 54 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 π cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Vamos resolver essa integral separado no próximo passo

Passo 8

∫ cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ

Vamos fazer

cos ⁡ ϕ = u

Derivando

d u = - sen ⁡ ϕ d ϕ

sen ⁡ ϕ d ϕ = - d u

A integral vai ficar

∫ cos 2 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ = ∫ - u 2 d u

⇒ - u 3 3 + C

Voltando para ϕ

- u 3 3 + C = - cos 3 ⁡ ϕ 3 + C

Como temos uma integral definida vamos ignorar esse C

Passo 9

54 5 ∫ 0 2 π - cos 3 ⁡ ϕ 3 ϕ = 0 π d θ

⇒ 54 5 ∫ 0 2 π - cos 3 ⁡ π 3 - - cos 3 ⁡ 0 3 d θ

⇒ 54 5 ∫ 0 2 π - - 1 3 3 - - 1 3 3 d θ

⇒ 54 5 ∫ 0 2 π 1 3 + 1 3 d θ

⇒ 54 5 ∫ 0 2 π 2 3 d θ

⇒ 54 5 2 3 θ θ = 0 2 π

⇒ 54 5 2 3 2 π - 0

⇒ 54 5 2 3 2 π

⇒ 72 π 5

Passo 10

Vamos ter

∬ S   F → . N → d σ = ∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S   F 2 → . N → d σ

∬ S   F → . N → d σ = 4 π + 72 π 5

∬ S   F → . N → d σ = 92 π 5

Resposta

92 π 5