Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Calcule o fluxo do campo

F x ,   y ,   z = ( 2 x ,   - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ,   y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 )

Através da superfície S   definida pelas equações

x 2 4 + y 2 9 + z 2 25 = 1     ,                           z ≥ 0 x 2 4 + y 2 9 = 1     ,                     - 3 ≤ z ≤ 0 z =   - 3           ,                                 x 2 4 + y 2 9 ≤ 1

Passo 1

Primeiro vamos fazer um rascunho da imagem para entender melhor o problema!

Passo 2

Está vendo a raiz no campo, bom devemos ficar atentos! Raiz e frações são sinais de singularidades, e aqui temos os dois!

O denominador x 2 + y 2 + z 2 , deve ser diferente de zero! Então o ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) é uma singularidade.

Como dentro da raiz temos uma soma de quadrados, que é sempre maior que zero, a origem é a única singularidade!

Para retirar esta singularidade vamos definir uma esfera centrada na origem de raio R bem pequeno!

Assim, o Teorema de Gauss pode ser aplicado como,

∬ S 1   F → . n →   d S + ∬ S   F → . n →   d S = ∭ W   ∇ ⋅ F →   d V

Passo 3

Vamos começar calculando o divergente do campo,

∇ ⋅ F =   ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ ⋅ F = 2 + y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + - y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 = 2

Assim,

∭ W   ∇ ⋅ F →   d V = 2 ⋅ V W

Passo 4

Agora precisamos calcular o volume do sólido:

Volume do elipsoide, lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

V o l u m e e l i p s o i d e = 4 3 π   a b c

Onde a , b , c são as raízes dos denominadores de x 2 , y 2 e z 2 (os semeixos do elipsoide):

a = 2

b = 3

c = 5

Portanto, como queremos metade do elipsoide:

V e = 1 2 4 3 π   a b c = 20 π  

Volume do cilindro elíptico, a área de uma elipse é dada por:

a e = π a b

Onde a , b são as raízes dos denominadores de x 2 e y 2 (os semeixos da elipse), assim, o volume do cilindro é V c = π a b H , com a = 2 , b = 3 e H = 3 :

V c = π a b H = π ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 π

Volume da esfera de raio R :

V e s f = 4 3 π R 3

Por fim,

2 ⋅ V w = 2 ⋅ 20 π + 18 π - 4 3 π R 3 = 76 π - 8 3 π R 3

Passo 5

Vamos calcular, ∬ S 1   F → . n →   d S , que representa o fluxo do campo que passa pela esfera de raio R . Para isso vamos parametrizar a esfera por:

φ θ , ϕ = ( R s e n ϕ c o s θ ,   R s e n ϕ s e n θ ,   R c o s ϕ )

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Vamos ver quanto dá esse vetor normal da esfera:

∂ φ ∂ ϕ = Rcos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , R s e n θ cos ⁡ ϕ , - R s e n ϕ

∂ φ ∂ θ = - R s e n θ s e n ϕ , Rcos ⁡ θ s e n ϕ , 0

Calculando o produto vetorial:

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ = i j k Rcos ⁡ θ cos ⁡ ϕ R s e n θ cos ⁡ ϕ - R s e n ϕ - R s e n θ s e n ϕ Rcos ⁡ θ s e n ϕ 0

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ =   R 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ , R 2 s e n 2 ϕ s e n θ , R 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ =   R 2 s e n ϕ s e n ( ϕ ) cos ⁡ θ , s e n ( ϕ ) s e n θ , cos ⁡ ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S =   ∬ S 1   2 R s e n ϕ c o s θ ,   - c o s ϕ ,   s e n ϕ s e n θ ⋅ R 2 s e n ϕ s e n ϕ cos ⁡ θ , s e n ϕ s e n θ , cos ⁡ ϕ d S

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ + R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ ) d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ ) d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ 1 + c o s 2 θ 2 d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ θ 2 + s e n 2 θ 4 0 2 π d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = π ∫ 0 π 2 R 3 s e n 3 ϕ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 ∫ 0 π s e n 2 ϕ s e n ϕ d ϕ

Para resolver esta integral vamos usar:

u = c o s ϕ

d u = - s e n ϕ d ϕ

Ainda,

s e n 2 ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 1 - u 2

Assim, teremos:

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 ∫ 1 - 1 u 2 - 1 d u

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 u 3 3 - u 1 - 1 = 8 π R 3 3

Como a normal a esta espera está apontando para fora do sólido, o que significa estar apontando para a origem:

∬ S 1   F → . n →   d S = - 8 π R 3 3

Passo 6

Finalmente!! Teremos:

∬ S 1   F → . n →   d S + ∬ S   F → . n →   d S = ∭ W   ∇ ⋅ F →   d V

∬ S   F → . n →   d S = ∭ W   ∇ ⋅ F →   d V - ∬ S 1   F → . n →   d S  

∬ S   F → . n →   d S =   76 π - 8 3 π R 3 - - 8 π R 3 3 = 76 π  

∬ S   F → . n →   d S = 76 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)