Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Seja

F → x , y , z = x x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + x ,   y x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + y , z x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + z .

Calcular ∬ s F   → . n → d S   onde S é a esfera x - 1 2 + y 2 + z 2 = 9 , orientada com a normal n → saindo.

Passo 1

Como queremos a integral de superfície de uma esfera podemos utilizar o teorema de Gauss:

∬ s F   . d S → = ∭ w d i v F d x d y d z

Temos que primeiro verificar se todas as condições são satisfeitas:

  • A superfície deve ser fechada e assim definir um volume
  • Não deve possuir singularidade
  • A normal deve ser orientada para fora, no sentido contrário ao espaço definido pela superfície.

A única condição que não é satisfeita é a de singularidade, pois o ponto ( 0 , 0,0 ) não está definido no nosso campo vetorial, por isso devemos eliminá-la hehehe

Passo 2

Para eliminar a singularidade, podemos utilizar uma esfera S 1 de raio um e centrada na origem para facilitar as nossas contas e que deve estar orientada com a normal apontando para o centro. Dessa forma a esfera S 1 e a superfície S que o problema deu irão delimitar um volume entre essas duas superfícies.

Obs.: Atenção para a orientação da normal à superfície. Para a esfera mais externa a orientação deve ser se afastando da origem e da esfera mais interna, a orientação deve ser para a origem. É só lembrar que a orientação deve estar contrária ao volume delimitado pelas duas superfícies.

Passo 3

Temos então que pelo Teorema de Gauss:

∬ S F   . d S →   + ∬ S 1 F . d S → = ∭ W d i v F → d x d y d z

Onde W é o espaço confinado entre a esfera S do problema e a esfera S 1

Calculando o divergente do campo vetorial F :

d i v   F x , y , z = ∂ F 1 ∂ x x , y , z +   ∂ F 2 ∂ y x , y , z + ∂ F 3 ∂ z x , y , z

Onde:

F 1 = x x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + x

F 2 = y x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + y

F 3 = z x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + z

Realizando a conta do divergente podemos ver que o resultado é 3. Assim:

∭ W d i v F → d x d y d z = ∭ W 3 d x d y d z

Essa integral tripla da direita é nada mais nada menos que 3 vezes o volume do espaço W .

Esse volume pode ser calculado como o volume da esfera verde menos o volume da esfera vermelha.

Para a verde: Volume = 4 3 × π × 3 3 = 36 π

Para a vermelha: Volume = 4 3 × π × 1 3 = 4 3 π

Então a nossa integral será: 3 × 36 π - 4 3 π = 104 π

Passo 4

Falta agora calcularmos a integral dupla que apareceu quando tivemos que adicionar a esfera de raio um para eliminarmos a singularidade.

∬ S 1 F . d S →

Passo 5

Primeiro devemos parametrizar nossa superfície:

φ θ , ϕ = ( R c o s θ s e n ϕ , R s e n θ s e n ϕ , R c o s ( ϕ )

Onde R = 1

Nossa integral será calculada por:

∬ S 1 F . d S → = F   → φ θ , ϕ ∙ ∂ φ ∂ θ θ , ϕ × ∂ φ ∂ ϕ θ , ϕ d u d v  

Calculando F   → φ θ , ϕ :

F   → φ θ , ϕ = c o s θ s e n ϕ c o s θ s e n ϕ 2 +   s e n θ s e n ϕ 2 +   c o s ( ϕ ) 2 3 2 + c o s θ s e n ϕ ,   s e n θ s e n ϕ c o s θ s e n ϕ 2 +   s e n θ s e n ϕ 2 +   c o s ( ϕ ) 2 3 2 + s e n θ s e n ϕ , c o s ( ϕ ) c o s θ s e n ϕ 2 +   s e n θ s e n ϕ 2 +   c o s ( ϕ ) 2 3 2 + c o s ( ϕ )

F   → φ θ , ϕ = 2 c o s θ s e n ϕ , 2 s e n θ s e n ϕ , 2 c o s ϕ

Para a segunda parte da integral:

∂ φ ∂ θ θ , ϕ × ∂ φ ∂ ϕ θ , ϕ =   i j k - s e n ( θ ) s e n ( φ ) c o s ( θ ) s e n ( φ ) 0 c o s ( φ )   c o s ( θ ) c o s ( φ )   s e n ( θ )   - s e n ( φ )

∂ φ ∂ θ θ , ϕ × ∂ φ ∂ ϕ θ , ϕ = s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ s e n θ , s e n φ cos ⁡ φ

Ficamos então com

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( 2 c o s θ s e n ϕ , 2 s e n θ s e n ϕ , 2 c o s ϕ . ( s e n 2 φ cos ⁡ θ , s e n 2 φ s e n θ , s e n φ cos ⁡ φ d ϕ d θ

O resultado dessa integral será então - 8 π

Para finalizar iremos só substituir os valores das integrais que temos e assim:

∬ S F . d S → - 8 π = 104 π

∬ S F . d S → = 112 π

Resposta

∬ S F . d S → = 112 π