Exercícios Resolvidos de Singularidade

USP - Cálculo 3 - P3 2014 - 2

Calcule γ   F . d r , onde:

F x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 + y z , x 2 x 2 + y 2 - x z ,   e z 2 + z 2

E γ é a intersecção de z = 5 - x 2 - 2 y 2 e z = 3 x 2 + 1 , orientada de modo que a sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom, vamos começar fazendo um esboço dessas superfícies para entender a questão. Temos um parabolóide elíptico virado para baixo z = 5 - x 2 - 2 y 2 com z máximo em 5 cortado pelo cilindro de parábola z = 3 x 2 + 1 perpendicular ao plano x z :

A curva γ do problema é essa formada pela interseção entre as duas superfícies. Para encontrar a sua expressão, vamos igualar as duas equações:

z = 5 - x 2 - 2 y 2 = 3 x 2 + 1

4 x 2 + 2 y 2 = 4

x 2 + y 2 2 = 1

Uma elipse no plano x y .Mas isso é só a projeção da curva nesse plano, falta a coordenada z , que pode ser dada tanto pela equação de uma superfície como a de outra. Vamos escolher a mais fácil, né:

z = 3 x 2 + 1

Então, nossa curva vista de cima é uma elipse: guarde essa informação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, agora vamos analisar o problema. Reparou que a expressão do campo não é nem um pouco amigável, né?

F x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 + y z , x 2 x 2 + y 2 - x z ,   e z 2 + z 2

Imagina ainda susbstituir uma parametrização nisso aí, sem condições. Então vamos simplificar as coisas.

Repara que os termos y 2 x 2 + y 2 e x 2 x 2 + y 2 são bem parecidos. Se a gente separar esse campo vetorial em duas partes (sendo uma delas apenas com essas parcelas), conseguimos um campo conservativo. Olha só:

F x , y , z = G x , y , z + H x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 , x 2 x 2 + y 2 , 0 + y z , - x z ,   e z 2 + z 2

Beleza? Então, podemos escrever:

γ   F . d r = γ   G . d r + γ   H . d r

Ou seja, primeiro vamos resolver separadamente o problema aplicando Stokes só com o campo G , que é conservativo, depois só com o H e, então, somar as respostas.

Passo 3

Para o campo G

G x , y = - y 2 x 2 + y 2 , x 2 x 2 + y 2 , 0

Vamos aplicar Stokes para trocar a integral de linha por uma de superfíce. Ecolhemos como superfícies S esse retalho do paraboloide cortado pelo cilindro de parábola (a parte que fica abaixo do cilindro). Então:

S   r o t G . n d s = S   G . d r

Porque não escolhemos a parte de cima do paraboloide? Porque, se você reparar, o campo não está definido quando x = y = 0 , ou seja, ao longo do eixo z . Então, precisamos de uma superfície que não corte esse eixo!

Bom, mas essa superfície que escolhemos tem duas curvas como borda: em cima, γ   (o que queremos) e embaixo uma elipse no plano x y , que vamos chamar de C . Então, sendo S = γ + C :

S   r o t G . n d s = γ   G . d r + C   G . d r

γ   G . d r = S   r o t G . n d s - C   G . d r

Se γ gira no sentido anti-horário (no plano x y ), então, para termos orientação positiva, pela Regra da Mão Direita, S tem vetor normal apontando para dentro e, consequentemente, C gira no sentido horário.

Beleza, agora vamos calcular o rotacional desse campo:

r o t G = ×   G = i j k x y z G 1 G 2 G 3

r o t G = G 3 y - G 2 z ,   G 1 z - G 3 x ,   G 2 x - G 1 y

r o t G = 0 - 0,0 - 0 , 1 2 x 2 + y 2 - x ( 4 x ) 2 x 2 + y 2 2   + 1 2 x 2 + y 2 - y ( 2 y ) 2 x 2 + y 2 2

r o t G = 0,0 , 0

Ainda bem que deu zero né, gente. Ótimo. Então, podemos escrever:

γ   G . d r = C   G . d r

Precisamos agora calcular a integral de linha na elipse C . Como C é a base do paraboloide, para encontrar sua equação, “cortarmos” ele com o plano z = 0 :

z = 5 - x 2 - 2 y 2 = 0

x 2 + 2 y 2 = 5

x 2 5 + 2 y 2 5 = 1

Tá, ferrou. Quando a gente parametrizar isso aí e substituir a parametrização no campo G x , y = - y 2 x 2 + y 2 , x 2 x 2 + y 2 , 0 vai ficar uma porcaria, impossível de integrar. E agora?

Senta que agora vem a bruxaria. Lembra que no início da questão, nós vimos que a nossa curva, vista de cima, era uma elipse de equação x 2 + y 2 2 = 1 ? Pode voltar lá pra checar, eu espero.

Então, se γ tem essa projeção, quer dizer que ela pertence ao cilindro x 2 + y 2 2 = 1 , não é? Cilindro esse que não corta o eixo z ... Agora olha a expressão do campo de novo.

Percebeu que 2 x 2 + y 2 é proporcional a x 2 + y 2 2 ? Vamos então mudar a nossa superfície, você já vai entender o por que.

Vamos escolher esse cilindro de base elíptica, que tem como bordos a nossa curva γ e a sua base elíptica C . Ou seja, temos isso aqui:

A superfície S passa a ser então a parte desse cilindro verde que está entre a curva γ (em cima, orientada no sentido anti-horário) e a elipse C (na base, orientada no sentido horário).

Isso não muda nada para o que fizemos até agora! Isso aqui continua valendo:

γ   G . d r = C   G . d r

Então, precisamos da integral de linha em C . Vamos parametrizar x 2 + y 2 2 = 1 usando coordenadas elípticas:

C θ = cos θ ,   2   s e n   θ , 0

Lembra que a curva pertence ao plano z = 0 .

Como temos uma volta completa no sentido horário, θ vai de 2 π a zero. Agora vamos derivar essa parametrização:

C ' θ = - s e n   θ ,   2   cos θ , 0

Agora vamos reescrever o campo em termos da parametrização:

G x ( θ ) , y ( θ ) = - 2   s e n   θ 2 cos θ 2 + 2   s e n   θ 2 , cos θ 2 cos θ 2 + 2   s e n   θ 2 , 0

Agora olha que coisa linda que vai acontecer:

G x ( θ ) , y ( θ ) = - 2   s e n   θ 2 , cos θ 2 , 0

Pra isso que servia o cilindro, pra simplificar o denominador do campo, percebeu? Agora vamos substituir tudo o que encontramos nessa fórmula aqui e finalmente calcular a integral de linha da primeira parte do campo em γ :

γ   G . d r = C   G x θ ,   y θ , z ( θ ) . C ' d θ

γ   G . d r = 1 2 2 π 0 - 2   s e n   θ , cos θ , 0 . - s e n   θ ,   2   cos θ , 0 d θ

γ   G . d r = 1 2 2 π 0 - 2   s e n 2   θ - 2 cos 2 θ d θ

γ   G . d r = - 2 2 2 π 0 d θ

γ   G . d r = π 2

Passo 4

É, galera, não acabou, tem mais.

Para o campo H

Temos o seguinte

H x , y , z = y z , - x z ,   e z 2 + z 2

Como esse campo não tem nenhuma singularidade, podemos escolher a superfície que quisermos para aplicar Stokes, de preferência uma que tenha só uma borda dessa vez né, por favor.

Vamos usar a parte de cima do paraboloide, pode ser? Só temos γ como fronteira então. Como a curva está orientada no sentido anti-horário, o vetor normal de S aponta para cima.

Para parametrizar S , vamos interpretá-la como a parte do paraboloide z = 3 x 2 + 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 2 = 1 , pois essa é a projeção da borda de S no plano x y . Assim, definimos S como

z = 3 x 2 + 1

φ x , y = ( x , y , 3 x 2 + 1 )

Com domínio

x 2 + y 2 2 1

Vamos então calcular o vetor normal a S :

φ x = ( 1,0 , 6 x )

φ y = ( 0,1 , 0 )

φ x × φ y = i ^ j ^ k ^ 1 0 6 x 0 1 0 = - 6 x , 0,1  

Então, temos:

S   r o t H . n d s = γ   H . d r

Beleza, agora vamos calcular o rotacional desse campo:

r o t H = ×   H = i j k x y z H 1 H 2 H 3

r o t H = H 3 y - H 2 z ,   H 1 z - H 3 x ,   H 2 x - H 1 y

r o t H = 0 + x , y - 0 , - z - z

r o t H = x , y , - 2 z

Escrevendo em função da parametrização:

r o t H φ x , y = x , y , - 2 ( 3 x 2 + 1 )

Agora vamos levar isso tudo para a fórmula:

γ   H . d r = D   r o t H . n φ x × φ y d x d y

γ   H . d r = D   x , y , - 6 x 2 - 2 ( - 6 x , 0,1 ) d x d y

γ   H . d r = D   - 6 x 2 - 6 x 2 - 2 d x d y

γ   H . d r = - 2 D   6 x 2 + 1 d x d y

Onde D é o domínio da parametrização de S : x 2 + y 2 2 1

Então vamos usar coordenadas elípticas:

x = r cos θ

y = 2 r   s e n   θ

J = r 2

E a região de integração passa a ser 0 r 1 com 0 θ 2 π . Levando isso para a integral:

γ   H . d r = - 2 2 0 2 π 0 1 6 r 2 cos 2 θ + 1 r   d r d θ

Agora vamos resolver isso aí (sim, essa questão não acaba).

γ   H . d r = - 2 2 0 2 π 3 2 r 4 cos 2 θ + r 2 2 0 1   d θ

γ   H . d r = - 2 0 2 π 3 cos 2 θ + 1   d θ

Usando a igualdade:

cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2

Temos:

γ   H . d r = - 2 0 2 π 3 1 + cos 2 θ 2 + 1   d θ

γ   H . d r = - 2 2 0 2 π 3 cos 2 θ + 5   d θ

γ   H . d r = - 2 2   3 2 s e n   2 θ + 5 θ 0 2 π =

γ   H . d r = - 5 π 2  

Essa é a integral de linha em γ da segunda parte do campo.

Passo 5

Gente, finalmente, depois dessa saga, vamos chegar ao tão esperado resultado! Vamos somar os valores que encontramos para cada campo:

γ   F . d r = γ   G . d r + γ   H . d r = π 2 - 5 π 2 = - 4 π 2

Se você chegou aqui realmente é guerreiro, está de parabéns, mesmo que não tenha acertado a questão. Essa era tensa mesmo, merecemos um break.

Resposta

- 4 π 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas