Exercícios Resolvidos de Singularidade

Ver Teoria

Enunciado

Calcule

∫ γ   x - y x 2 + y 2 d x + y + x x 2 + y 2 d y + z 2 d z

Sendo γ a intersecção de z + 1 2 = x 2 + y 2 com 2 z + y = 6 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido horário.

Passo 1

Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. Temos um cone com centro em ( 0,0 , - 1 ) cortado por um plano:

Esse desenho não precisa de precisão nenhuma, ok? É só para termos uma ideia mesmo, você pode desenhar um plano qualquer cortando o cone.

A questão pede para calcularmos a integral de linha em γ , que é a interseção do plano inclinado com o cone. Como podemos ver, γ forma uma elipse. Percebeu?

Passo 2

Ok, agora vamos analisar o problema. Reparou que a expressão do campo não é nem um pouco amigável, né? Imagina ainda substituir uma parametrização nisso aí, sem condições. Então vamos simplificar as coisas.

O Teorema de Stokes nos diz isso aqui:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de F sobre uma superfície S que tenha a curva como fronteira. Ah, vamos usar o próprio retalho do plano em forma da elipse, né?

Agora vem o momento em que temos que tomar muito cuidado, olha a expressão do campo de novo:

F → x , y , z = x - y x 2 + y 2 , y + x x 2 + y 2 , z 2

Repare temos uma indeterminação quando x = 0 e y = 0 , portanto, o campo não está definido no eixo z !

Então, não podemos usar o plano como superfíce, na verdade, não podemos usar nenhuma superfície que tenha apenas γ   como fronteira por causa disso!

Ferrou, né. Não, vamos usar uma superfície que tenha γ como uma de suas fronteiras. Em vez de usar o plano, vamos usar um pedaço do cone, que também tem γ como fronteira, ok? Vamos cortar esse conwe com o plano z = 0 :

Então, S é o pedaço do cone entre os planos e ∂ S é a própria curva γ mais a borda debaixo do cilindro C (uma circunferência).Temos então:

∮ ∂ S   F → . d r = ∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Agora vamos pensar nas orientações. Se γ está no sentido horário, pela Regra da Mão direita, S deve ter vetor normal apontando para fora. Consequentemente, C gira no sentido anti-horário.

Passo 3

Precisamos, então, calcular r o t F → , sabendo que

F → x , y , z = x - y x 2 + y 2 , y + x x 2 + y 2 , z 2

Temos:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

= 0 - 0,0 - 0 , 1 x 2 + y 2 - ( x - y ) ( 2 x ) x 2 + y 2 2 - - 1 x 2 + y 2 - ( x + y ) ( 2 y ) x 2 + y 2 2 =

= 0,0 , 0

Passo 4

Como encontramos que o rotacional é nulo, temos:

∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = 0

∫ γ   F → . d r = - ∫ C   F → . d r =

Show?

Passo 5

Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, C .

Como a circunferência está no plano x y , sua equação é dada pela intersecção entre z = 0 e a equação do cone:

0 + 1 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 1

Parametrizando isso aí em coordenadas polares com r = 1 , temos:

C → θ = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

Como temos uma volta completa no sentido anti-horário, θ vai de 0 a 2 π .

Essa última componente z = 0 é porque a curva está no plano x y .

Certo, agora vamos derivar isso aí:

C → ' θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:

∫ C   F → . d r → = ∫ C   F → x θ ,   y θ ,   z ( θ ) . C ' → d θ

F → x , y , z = x - y x 2 + y 2 , y + x x 2 + y 2 , z 2

F → θ = cos ⁡ θ - s e n   θ 1 , s e n   θ + cos ⁡ θ 1 , 0 = cos ⁡ θ - s e n   θ , s e n   θ + cos ⁡ θ , 0

Levando para ai ntegral, temos:

∫ C   F → . d r → = ∫ 0 2 π cos ⁡ θ - s e n   θ , s e n   θ + cos ⁡ θ , 0 . - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0 d θ

= ∫ 0 2 π - s e n   θ cos ⁡ θ + s e n 2   θ + s e n   θ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π

Passo 6

Temos então

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s - ∫ C   F → . d r = 0 - 2 π = - 2 π

Resposta

- 2 π