Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Seja

F x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ,   z

Mostre que ∮ C F .   d r = 2 π , onde C é a curva x 2 + y 2 = 4 ,   z = 0 , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos procurar alguma singularidade, olha a fração! Já vamos desconfiar que pode existir alguma coisa aí!

O demoninador da fração é x 2 + y 2 , então vamos igualar ele a zero:

x 2 + y 2 = 0

Para isso devemos ter

x = y = 0

Então existe uma singularidade de eixo, eixo z . Não podemos usar nenhuma superfície que tenha intercessão com o eixo z .

Passo 2

A superfície mais fácil de calcular a integral de linha seria o círculo limitado por x 2 + y 2 = 4 , mas esta superfície passa pelo ponto ( 0 ,   0 ) , que é um ponto de singularidade.

Então vamos pegar uma coroa circular limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 1 . Agora vamos analisar as orientações, como C   está no sentido anti-horário, pela regra da mão direita a normal aponta para o sentido positivo de z .

A nova curva, C 1 , para seguir a mesma orientação deve estar no sentido horário! Veja a figura:

Passo 3

Aplicando o teorema de Stokes nesta superfície teremos:

∬ S r o t F . n   d S = ∮ C F d r + ∮ C 1 F d r

∮ C F d r = ∬ S r o t F . n   d S - ∮ C 1 F d r

Passo 4

Calcular o rotacional do campo,

F x ,   y ,   z = - y x 2 + y 2 ,   x x 2 + y 2 ,   z

Tempos,

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0 ,   0 - 0 , x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 - - x 2 + y 2 + y 2 y x 2 + y 2 2

r o t F → = ( 0 ,   0 ,   0 )

Logo,

∬ S r o t F . n   d S = 0

Passo 5

Calcular a integral de linha da curva C 1 ,

Parametrização de C 1 :

σ t = c o s t ,   s e n t ,   0

σ ' t = - s e n t ,   c o s t ,   0

Assim,

∮ C 1 F d r =   ∫ 0 2 π F σ t . σ ' t d t

∫ 0 2 π - s e n t s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ,   c o s t s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ,   0 . - s e n t ,   c o s t ,   0 d t

∫ 0 2 π s e n 2 t s e n 2 t + cos 2 ⁡ t +   cos 2 ⁡ t s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

∫ 0 2 π 1 d t = 2 π

Como ela está no sentido horário,

∮ C 1 F d r =   - 2 π

Passo 6

Por último vamos substituir os resultados dos passos 4 e 5 na equação resultante do teorema de Stokes!

∮ C F d r = 0 - ( - 2 π )

∮ C F d r = 2 π

Como foi pedido na questão!

Passo 7

Podemos resolver está integral pela definição de integral de linha! Veja,

∫ a b F x t ,   y t , z ( t ) . σ → ' t   d t

Assim, o promeito passo é parametrizar a curva C : x 2 + y 2 = 4 e z = 0 . Como é uma circunferência de raio igual a 2 , pode ser parametrizada por:

x = 2 c o s t y = 2 s e n t

σ → t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t ,   0 )

σ → ' t = ( - 2 s en ⁡ t ,   2 c o s   t ,   0 )

Passo 8

Vamos calcular a integral,

∫ a b F x t ,   y t , z ( t ) . σ → ' t   d t

∫ 0 2 π - s e n   t 2 , cos ⁡ t 2 , 0 . ( - 2 sen ⁡ t ,   2 c o s   t ,   0 )   d t

∫ 0 2 π ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) d t

Usando a relação fundamental da trigonometria s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 ,

∫ 0 2 π 1 d t   = 2 π