Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Questão 4:

Sejam

F → x ,   y ,   z = - y x 2 + 4 y 2 , x x 2 + 4 y 2 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2 ,

e γ a intersecção do paraboloide z = x 2 + 4 y 2 - 1 com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 , orientada de forma que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido horário. Calcule ∫ γ   F → ⋅ d r → .

Passo 1

Não sei você, mas eu estou sentindo cheiro de um Stokes aí, heim?! Por quê? Uai, nós temos um campo bizarro e uma curva igualmente bizarra (mesma se desenhar ela já me pareceu complexa). Mas se você quer ter certeza de que de fato estamos trabalhando com Stokes, calculemos o rotacional...

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como no nosso caso...

F → x ,   y ,   z = - y x 2 + 4 y 2 ⏟ F 1 ,   x x 2 + 4 y 2 ⏟ F 2 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2 ⏟ F 3

As primeiras derivadas já saem diretamente...

r o t F → = 0 - 0,0 - 0 , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Essas duas últimas que vão dar um pouco de mais trabalho, afinal teremos que aplicar a regra da fração...

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + 4 y 2 = x 2 + 4 y 2 ⋅ ∂ ∂ x x - x ∂ ∂ x x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2 =

x 2 + 4 y 2 - 2 x 2 x 2 + 4 y 2 2 = - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2

Calculando a outra de firma bem parecida

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + 4 y 2 = x 2 + 4 y 2 ⋅ ∂ ∂ y - y - - y ∂ ∂ y x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2 =

- x 2 + 4 y 2 + 8 y 2 x 2 + 4 y 2 2 = - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2

Logo...

r o t F → = 0 - 0,0 - 0 , - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2 - - x 2 + 4 y 2 x 2 + 4 y 2 2 =

0 ,   0 ,   0

Passo 2

O rotacional é muito easy, o que significa que de fato vamos aplicar o Teorema de Stokes:

∫ γ   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t F → ⋅ n →   d S

Mas cuidado! Não podemos sair aplicando essa igualdade de qualquer forma. Precisamos antes averiguar as condições do Teorema.

O teorema de Stokes nos pede três coisas antes de aplicarmos a sua igualdade:

1 º - Precisamos de uma curva fechada delimitando uma superfície S .

2 º - Outra exigência do teorema é que o campo F → x ,   y ,   z , não tenha singularidades onde estamos trabalhando.

3 º - A última, nos fala que a curva e a superfície devem estar orientadas positivamente.

Passo 3

Bem, de acordo com a condição acima, precisamos de uma curva fechada delimitando uma superfície S . Mas por falar nisso, quem é essa curva? Ela é fechada e delimita alguma superfície?

Para responder essas perguntas, desenhemos no espaço de acordo com as orientações do enunciado:

Uma curva dado pela intersecção de um paraboloide com a “boca” pra cima e passando por z = - 1 , com uma esfera de raio 5 ...

Eis a curva!

E repara que existem várias superfícies que ela delimita, entre elas, podemos pegar o próprio pedaço de paraboloide:

Passo 4

Outra condição nos pede um campo sem singularidades onde estamos trabalhando. O campo F → ...

F → x ,   y ,   z = - y x 2 + 4 y 2 , x x 2 + 4 y 2 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2

Até tem uma singularidade em toda reta z , pois se você substituir x = 0 e y = 0 em sua equação, ganharemos uma divisão por z e r o o que já sabemos ser impossível.

Então, não podemos usar todo o paraboloide

Pois ele passa pela singularidade. Mas calma que resolver esse problema é fácil, basta tirarmos o pedacinho de baixo, como se cortássemos pelo plano z = 0 ...

Eis a nossa superfície S que vamos usar! :D

Passo 5

A última condição nos fala sobre a orientação ser positiva. Cara, isso significa que as curvas e a superfície devem estar orientadas juntas. Veja bem:

De acordo com o enunciado, temos que a curva γ lá em cima, se projetássemos no plano x y , a veríamos girando no sentido horário. Isso significa que ela, a própria γ , gira nesse sentido se olhássemos de cima para baixo:

Pela regra da mão direita, colocando os dedos na direção de giro dela, descobrimos que o vetor normal à superfície deve estar saindo.

Assim, conseguimos determinar o sentido de giro daquela curvinha lá em baixo que vamos nomear de γ 2 pela própria regra da mão direita...

Prontinho! Orientada positivamente, sacou? ;)

Passo 6

Condições do teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade de Stokes...

∫ ∂ S   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t F → ⋅ n →   d S

Veja bem que na integral de linha, colocamos um ∂ S representando que a integral de linha deve ser calculada na borda de S . A borda, no caso, é a junção da curva γ com a γ 2 ...

∫ γ   F → ⋅ d r → + ∫ γ 2   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t F → ⋅ n →   d S

∫ γ   F → ⋅ d r → + ∫ γ 2   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t F → ⋅ n →   d S

Como o rotacional j�� calculado foi nulo, a integral tripla desaparece...

∫ γ   F → ⋅ d r → + ∫ γ 2   F → ⋅ d r → = 0

Se queremos a integral de linha em cima de γ ...

∫ γ   F → ⋅ d r → = - ∫ γ 2   F → ⋅ d r →

Passo 7

Vamos calcular então essa integral de linha em cima de γ 2 ...

∫ γ 2   F → ⋅ d r →

Primeiro, precisamos parametriza-la. Essa curva pode ser obtida fazendo a intersecção do paraboloide com o plano z = 0 ...

z = x 2 + 4 y 2 - 1       →

0 = x 2 + 4 y 2 - 1       →         x 2 + 4 y 2 = 1

Como desconfiávamos... Uma elipse. Podemos parametriza-la fazendo

x = cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ 2

E

z = 0

r 2 θ = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ 2 , 0  

Onde θ ...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 8

Precisamos agora determinar o campo nas novas coordenas...

F → x ,   y ,   z = - y x 2 + 4 y 2 , x x 2 + 4 y 2 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2

Como x 2 + 4 y 2 = 1 ...

F → x ,   y ,   z = - y 1 , x 1 , 1 + z 3 ln ⁡ 1 + z 2

F → r 2 θ = - sin ⁡ θ 2 , cos ⁡ θ , 1 + 0 3 ln ⁡ 1   →

F → r 2 θ = - sin ⁡ θ 2 , cos ⁡ θ , 0

Passo 9

Calculemos agora o termo d r → ...

d r → = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ 2 , 0   ' d θ

d r → = - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ 2 , 0 d θ

Jogando tudo na integral de linha que queremos resolver...

∫ 0 2 π - sin ⁡ θ 2 , cos ⁡ θ , 0 ⋅ - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ 2 , 0 d θ =

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ 2 d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ

1 2 2 π = π

De acordo coma igualdade de Stokes que vimos...

∫ γ   F → ⋅ d r → = - ∫ γ 2   F → ⋅ d r →

∫ γ   F → ⋅ d r → = - π

Resposta

- π