Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

Calcule ∫ γ   x z x 2 + y 2 + y d x + y z x 2 + y 2 d y + e z 4 d z , sendo γ a curva dada pela intersecção de x 2 + y 2 = 1 e z = a r c t g 5 + x 4 + y 8 orientada de modo que a sua projeção no plano x y é percorrida uma única vez no sentido anti-horário.

Passo 1

Seria bom fazer um esboço dessas superfícies para entender melhor quem é essa curva γ , mas imagino que você não faça ideia de que diabos de superfície é z = a r c t g 5 + x 4 + y 8 .

Bom, eu também não : D

O que a gente precisa saber é que temos um cilindro x 2 + y 2 = 1 (na figura abaixo) cortado de alguma forma mística por essa superfície bizarra e que a intersecção forma γ , ok? Beleza.

Ok, agora vamos analisar o problema. Para encontrar a expressão de γ , precisamos fazer a intersecção entre a equação do cilindro e a da superfície bizarra. Isso vai nos dar algo mais bizarro ainda, percebeu né? E ainda teríamos que parametrizar γ ...

Então vamos simplificar as coisas. Vamos usar Stokes, temos:

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de F sobre uma superfície S que tenha a curva como fronteira.

Agora vem o momento em que temos que tomar muito cuidado, olha a expressão do campo de novo:

F → x , y , z = x z x 2 + y 2 + y ,   y z x 2 + y 2 , e z 4

Repare que x e y não podem ser iguais a zero, pois temos uma indeterminação, portanto, o campo não está definido no eixo z .

Então, não podemos usar nenhuma superfície que tenha apenas γ   como fronteira.

Ferrou, né. Não, vamos usar uma superfície que tenha γ como uma de suas fronteiras. Vamos usar o pedaço do cilindro que tem, em cima, γ como fronteira e, embaixo, uma circunferência.

Ou seja, nós cortamos o cilindro com um plano (pode ser z = 0 ) e com a superfície z = a r c t g 5 + x 4 + y 8 .

Então, S é o pedaço do cilindro cortado e ∂ S é a própria curva γ mais a borda debaixo do cilindro (uma circunferência C ).Temos então:

∮ ∂ S   F → . d r = ∫ γ   F → . d r + ∫ C   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Agora vamos pensar nas orientações. Se γ está no sentido anti-horário, pela Regra da Mão direita, S deve ter vetor normal apontando para dentro. Consequentemente, C gira no sentido horário. Show?

Passo 2

Precisamos, então, calcular r o t F → , sabendo que

F → x , y , z = x z x 2 + y 2 + y ,   y z x 2 + y 2 , e z 4

Temos:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 - 0 , y z 2 x x 2 + y 2 2 - x z ( 2 y ) x 2 + y 2 2 - 1 = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , - 1

Passo 3

Agora precisamos parametrizar S para encontrar seu vetor normal. Como é um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas:

φ θ , z = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , z

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Já o intervalo de z , vai desde z = 0 (o plano com o qual cortamos o cilindo embaixo) até z = a r c t g 5 + x 4 + y 8 , a superfície que nos dá γ , logo, 0 ≤ z ≤ a r c t g 5 + x 4 + y 8 .

Passo 4

Agora vamos calcular a normal:

∂ φ ∂ θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ z = 0,0 , 1

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z = i j k - s e n   θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

Passo 5

Levando esse resultado para a integral e escrevendo o campo nas variáveis da parametrização de S , temos:

∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ D   - s e n   θ , cos ⁡ θ , - 1 cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0 d θ d z = 0

= ∬ D   - s e n θ cos ⁡ θ + s e n θ cos ⁡ θ d θ d z = 0

Passo 6

Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, C .

Como a circunferência está no plano x y , sua equação é a mesma do cilindro:

x 2 + y 2 = 1

Parametrizando isso aí em coordenadas elípticas, temos:

C → θ = cos ⁡ θ , s e n   θ , 0

Como temos uma volta completa no sentido horário, θ vai de 2 π a 0 .

Essa última componente z = 0 é porque a curva está no plano x y .

Certo, agora vamos derivar isso aí:

C → θ = - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0

Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:

∫ C   F → . d r → = ∫ C   F → x θ ,   y θ ,   z ( θ ) . C ' → d θ

F → x , y , z = x z x 2 + y 2 + y ,   y z x 2 + y 2 , e z 4

F → θ = sen ⁡ θ , 0,1

Levando para ai ntegral, temos:

∫ C   F → . d r → = ∫ 2 π 0 sen ⁡ θ , 0,1 - s e n   θ , cos ⁡ θ , 0 d θ

∫ C   F → . d r → = - ∫ 2 π 0 s e n 2 θ d θ

∫ C   F → . d r → = ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ

Passo 7

Agora vamos resolver isso aí, usando a relação:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

∫ C   F → . d r → = 1 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 2 2 π - 1 - 0 - 1

= π

Passo 8

Temos então

∫ γ   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s - ∫ C   F → . d r = 0 - π = - π

Resposta

- π