Exercícios Resolvidos de Singularidade

USP - Cálculo 3 - P3 2013 – 3

Calcule S   F . N d σ , onde

F x , y , z = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + z 3 3 k

E S é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , orientada pela normal unitária exterior N .

Passo 1

Essa função é realmente complicada, se tentarmos parametrizar a superfície S , que é um elipsoide, como temos x 2 + y 2 + z 2 na função F é interessante tentarmos usar o teorema de Gauss, isso porque é de boa escrever a superfície em coordenadas esféricas.

Vamos separar essa F em duas funções F 1 e F 2 onde

F 1 = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 3 2

E

F 2 = z 3 3 k

A integral vai ser a soma da integral de superfície de F 1 mais F 2 , vamos aplicar Gauss nas duas mas separamos porque uma vai dar um problema por não ter a origem definida, mas a outra é de boa facin de resolver.

Na F 1 não podemos aplicar o teorema de Gauss direto, mas podemos pegar uma segunda superfície S 2 sendo uma esfera de raio r que vai estar dentro do elipsoide.

S 2 : x 2 + y 2 + z 2 r

Ele vai estar dentro porque basta considerarmos r < 1 e os eixos do elipsoide são 1 , 2 e 3 todos maiores ou iguais a 1 , então essa esfera está dentro do elipsoide.

Vamos agora ao teorema de Gauss, primeiro em F 1 .

S   F 1 . N d σ + S 2   F 1 . N d σ = W d i v F 1 d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S S 2 .

Aplicando, agora, em F 2 , como não temos problemas com a função F 2 é só aplicar o teorema direto

S   F 2 . N d σ = W d i v F 2 d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar achando a integral de superfície em F 1

S   F 1 . N d σ + S 2   F 1 . N d σ = W d i v F 1 d x d y d z

Vamos começar achando a integral de superfície de S 2 , primeiro vamos ver como podemos escrever a parametrização de S 2 que é uma esfera de raio r , então temos

S 2 θ , ϕ = r cos θ sen ϕ , r sen θ sen ϕ , r cos ϕ

S 2 θ , ϕ = r cos θ sen ϕ , r sen θ sen ϕ , r cos ϕ

Com θ 0,2 π e ϕ 0 , π

Vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , ϕ = S 2 θ × S 2 ϕ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

S 2 θ = - r sen θ sen ϕ , r cos θ sen ϕ , 0

S 2 ϕ = r cos θ cos ϕ , r sen θ cos ϕ , - r sen ϕ

O vetor normal vai ser

N θ , ϕ = i j k - r sen θ sen ϕ r cos θ sen ϕ 0 r cos θ cos ϕ r sen θ cos ϕ - r sen ϕ

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ϕ cos θ i + 0 j + - r 2 sen 2 θ sen ϕ cos ϕ k - r 2 cos 2 θ sen ϕ cos ϕ k - r 2 sen 2 ϕ sen θ j - 0 i

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ϕ cos θ i + - r 2 sen 2 θ sen ϕ cos ϕ - r 2 cos 2 θ sen ϕ cos ϕ k - r 2 sen 2 ϕ sen θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ϕ cos θ i + - r 2 sen ϕ cos ϕ sen 2 θ + cos 2 θ k - r 2 sen 2 ϕ sen θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ϕ cos θ i + - r 2 sen ϕ cos ϕ k - r 2 sen 2 ϕ sen θ j

Repara que esse vetor esse vetor está todo negativo, isso vai fazer ele sempre apontar para dentro da esfera, então ele está com a orientação correta que queremos que é apontar para fora de W .

Passo 3

Vamos calcular a integral de superfície

S 2   F . N d σ

Repara que a função vai ser

F = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 k

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Substituindo os valores da superfície S 2 , é importante entender que aquele denominador vai ser 1 isso porque

x 2 + y 2 + z 2

cos θ sen ϕ 2 + sen θ sen ϕ 2 + cos ϕ 2

cos 2 θ sen 2 ϕ + sen 2 θ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ

cos 2 θ + sen 2 θ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ

1 sen 2 ϕ + cos 2 ϕ

1

A integral vai ficar

S 2   F S 2 N θ , ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π cos θ sen ϕ 1 3 2 , sen θ sen ϕ 1 3 2 , cos ϕ 1 3 2 - sen 2 ϕ cos θ , - sen 2 ϕ sen θ , - sen ϕ cos ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π - sen 3 ϕ cos 2 θ - sen 2 θ sen 3 ϕ - sen ϕ cos 2 ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π - sen 3 ϕ cos 2 θ + sen 2 θ - sen ϕ cos 2 ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π - sen 3 ϕ - sen ϕ cos 2 ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π - sen ϕ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ d ϕ d θ

0 2 π 0 π - sen ϕ d ϕ d θ

0 2 π cos ϕ ϕ = 0 π d θ

0 2 π cos π - cos 0 d θ

0 2 π - 1 - 1 d θ

0 2 π - 2 d θ

- 2 θ 0 2 π

- 4 π

Passo 4

Vamos para a integral tripla agora, primeiro vamos achar o divergente

d i v F 1 = F 1 x x + F 1 y y + F 1 z z

d i v F 1 = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 = - 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F 1 = 0

Passo 5

Voltando para a integral no início do passo 2

S   F 1 . N d σ + S 2   F 1 . N d σ = W d i v F 1 d x d y d z

Então vamos ter

S   F 1 . N d σ + - 4 π = 0

S   F 1 . N d σ = 4 π

Passo 6

Vamos agora para F 2

S   F 2 . N d σ = W d i v F 2 d x d y d z

Aqui o divergente vai ficar

d i v F 2 = F 2 x x + F 2 y y + F 2 z z

d i v F 2 = 0 + 0 + 3 z 2 3

d i v F 2 = z 2

Então a integral vai ficar

W d i v F 2 d x d y d z = W z 2 d x d y d z

Passo 7

Vamos resolver aquela integral tripla, para isso vamos usar coordenadas esféricas, mas dando uma adaptada ao elipsoide.

x = ρ cos θ sen ϕ

y = 2 ρ sen θ sen ϕ

z = 3 ρ cos ϕ

Esse 2 e 3 são os eixos do elipsoide, assim vamos ter ρ entre 0 e 1 , mas temos que ficar atentos que o jacobiano vai ficar multiplicado por 2 e 3 .

J = 6 ρ 2 sen ϕ

Como temos o elipsoide completo vamos ter θ 0,2 π e ϕ 0 , π

A integral vai ficar

W z 2 d x d y d z = 0 2 π 0 π 0 1 3 ρ cos ϕ 2 6 ρ 2 sen ϕ d ρ d ϕ d θ

0 2 π 0 π 0 1 9 ρ 2 cos 2 ϕ 6 ρ 2 sen ϕ d ρ d ϕ d θ

54 0 2 π 0 π 0 1 ρ 4 cos 2 ϕ sen ϕ d ρ d ϕ d θ

54 0 2 π 0 π ρ 5 5 ρ = 0 1 cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ d θ

54 0 2 π 0 π 1 5 5 - 0 5 5 cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ d θ

54 0 2 π 0 π 1 5 cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ d θ

54 5 0 2 π 0 π cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ d θ

Vamos resolver essa integral separado no próximo passo

Passo 8

cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ

Vamos fazer

cos ϕ = u

Derivando

d u = - sen ϕ d ϕ

sen ϕ d ϕ = - d u

A integral vai ficar

cos 2 ϕ sen ϕ d ϕ = - u 2 d u

- u 3 3 + C

Voltando para ϕ

- u 3 3 + C = - cos 3 ϕ 3 + C

Como temos uma integral definida vamos ignorar esse C

Passo 9

54 5 0 2 π - cos 3 ϕ 3 ϕ = 0 π d θ

54 5 0 2 π - cos 3 π 3 - - cos 3 0 3 d θ

54 5 0 2 π - - 1 3 3 - - 1 3 3 d θ

54 5 0 2 π 1 3 + 1 3 d θ

54 5 0 2 π 2 3 d θ

54 5 2 3 θ θ = 0 2 π

54 5 2 3 2 π - 0

54 5 2 3 2 π

72 π 5

Passo 10

Vamos ter

S   F . N d σ = S   F 1 . N d σ + S   F 2 . N d σ

S   F . N d σ = 4 π + 72 π 5

S   F . N d σ = 92 π 5

Resposta

92 π 5

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