Exercícios Resolvidos de Singularidade

UFRJ - Cálculo 3 - P2 2009.1 – 4

Considere o campo

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Calcule o fluxo de F através das faces do cubo

W = x , y , z R 3 | - 2 x 2 ,   - 2 y 2 ,   - 2 z 2

Com vetores normais apontando para dentro.

Passo 1

O campo F é de classe C 1 em R 3 - ( 0,0 , 0 ) . Como a origem do sistema está no interior do cubo W , vamos isolá-la, considerando a esfera S 1 de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região R , que é interior ao cubo e exterior à esfera S 1 .

Chamando de S a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:

S S 1 F d S = R d i v F d x   d y   d z

Onde estamos considerando os vetores normais de d S e de S S 1 apontando para fora da região R . O divergente de F é dado por

d i v F = F x x + F y y + F z z

Usando o F dado no enunciado:

F x x = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 3

F y y = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

F z z = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F = 3

Então, temos:

S F d S + S 1 F d S = R d i v F d x   d y   d z = 3 R d x   d y   d z = 3   Volume R

Lembrando que a região R é o interior do cubo e o exterior da esfera,

S F d S + S 1 F d S = R d i v F d x   d y   d z = 3 4 3 - 4 3 π = 192 - 4 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular

S 1 F d S = S 1 F n   d S

Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera S 1 . Observe também que, em cada ponto x , y , z S 1 , o vetor normal tem coordenadas   n = ( - x , - y , - z ) . Logo,

F n = - 3 x 2 - 1 x 2 + y 2 + z 2

Mas esse denominador x 2 + y 2 + z 2 é o próprio raio da esfera e, portanto, igual a 1. Então,

F n = - 3 x 2 - 1

Assim:

S 1 F n   d S = - S 1 3 x 2 + 1 d S = - S 1 3 x 2 d S - 4 π

Em coordenadas esférias, temos:

x = cos θ sen ϕ

d S = sen ( ϕ )   d θ   d ϕ

θ 0,2 π

ϕ 0 , π

Segue que:

S 1 3 x 2 d S = 0 2 π 0 π 3 cos 2 ( θ ) sen 3 ( ϕ ) d θ   d ϕ = 4 π

Consequentemente:

S 1 F n   d S = - S 1 3 x 2 d S - 4 π

S 1 F n   d S = - 8 π

Somando tudo, levando em conta a mudança do vetor normal:

S F d S = 192 - 4 π + 8 π

S F d S = 192 + 4 π

Pois o fluxo dessa forma foi obtido com os vetores normais apontando para fora. Como queremos calcular o fluxo com os vetores apontando para dentro, a resposta é

- 192 + 4 π

Resposta

- 192 + 4 π

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