Exercícios Resolvidos de Singularidade

UFPE, Cálculo 3, 2º EE - 2013.1, Questão 2

Considere o campo vetorial em R 3 - 0,0 , 0 definido por

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 , y x 2 + y 2 + z 2 3 , z x 2 + y 2 + z 2 3

(a) Calcule o divergente do campo F

(b) Calcule diretamente o fluxo de F através da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , em relação ao campo normal que aponta para fora da esfera

(c) Explique porque não é correto usar o Teorema da Divergência para efetuar o cálculo acima.

(d) Calcule o fluxo de F através do elipsoide 4 x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 = 36 , em relação ao campo normal que aponta para fora do elipsoide.

Sugestão: Aplique o Teorema da Divergência na região do espaço limitada pelas superfícies do elipsoide e da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Letra (a)

O divergente de um campo pode ser dado por

d i v F = F 1 x + F 2 y + F 3 z

Vamos derivar esse campo aí com calma

F 1 = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

F 1 x = 1 . x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 - x 3 2 2 x x 2 + y 2 + z 2 1 / 2   x 2 + y 2 + z 2 3

= x 2 + y 2 + z 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

F 1 x = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

As contas são muito parecidas pras outras derivadas

F 2 y = x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

F 3 z = x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

O divergente é a soma disso tudo

d i v F = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

d i v F = 0

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Passo 2

Letra (b)

Para calcular diretamente o fluxo através da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 precisamos calcular a integral de superfície, certo? Essa aqui

S F . n d S

Precisamos então parametrizar a superfície, calcular a normal n e integrar tudo. Vamos fazer passo a passo aqui

Começando pela superfície, temos uma esfera de raio ρ = 1

x = cos θ sen ϕ

y = sen θ sen ϕ

z = cos ϕ

Só dois parâmetros mesmo, é uma superfície lembra? Não um sólido!

Os limites são

0 θ 2 π

0 ϕ π

Passo 3

Vamos agora para o vetor normal dessa superfície

φ θ , ϕ = cos θ sen ϕ , sen θ sen ϕ , cos ϕ

N = φ θ × φ ϕ

φ θ = - sen θ sen ϕ , cos θ sen ϕ , 0

φ ϕ = cos θ cos ϕ , sen θ cos ϕ , - sen ϕ

N = i j k - sen θ sen ϕ cos θ sen ϕ 0 cos θ cos ϕ sen θ cos ϕ - sen ϕ

N = - cos θ sen 2 ϕ , - sen θ sen 2 ϕ , - sen ϕ cos ϕ

Mas queremos a normal apontando para fora, portanto o sinal é o oposto

N = cos θ sen 2 ϕ , sen θ sen 2 ϕ , sen ϕ cos ϕ

Passo 4

Temos a normal, temos a parametrização. Antes de jogar na integral, vamos substituir os novos parâmetros em F

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 , y x 2 + y 2 + z 2 3 , z x 2 + y 2 + z 2 3

Com a parametrização

φ θ , ϕ = cos θ sen ϕ , sen θ sen ϕ , cos ϕ

Temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Portanto

F θ , ϕ = cos θ sen ϕ , sen θ sen ϕ , cos ϕ

Agora sim, com tudo isso na integral

0 π 0 2 π cos θ sen ϕ , sen θ sen ϕ , cos ϕ . cos θ sen 2 ϕ , sen θ sen 2 ϕ , sen ϕ cos ϕ d θ d ϕ

= 0 π 0 2 π cos 2 θ sen 3 ϕ + sen 2 θ sen 3 ϕ + sen ϕ cos 2 ϕ d θ d ϕ

= 0 π 0 2 π sen 3 ϕ + sen ϕ cos 2 ϕ d θ d ϕ

= 0 π 0 2 π sen ϕ d θ d ϕ

Integrando isso aí

0 π 2 π sen ϕ d ϕ

= 2 π - cos ϕ 0 π

= 2 π 1 + 1 = 4 π

S F . n d S = 4 π

Passo 5

Letra (c)

O teorema da divergência (teorema de Gauss) nos diz que

S F . n d S = W d i v F d x d y d z

Seria perfeito pra gente né? O divergente de F é igual a zero, a integral tripla seria zero!

O problema são as considerações que fazemos para usar esse teorema, lembra de todas elas?

(i) O vetor normal deve estar apontando para fora do sólido

(ii) A superfície S é a fronteira de W , ou seja S = W

(iii) Não podemos ter singularidades no campo F na região definida por W

O problema de usar o teorema aqui é que não respeitamos essa terceira hipótese. O campo não existe no ponto 0,0 , 0 , já que o denominador fica zero.

Como a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 possui a origem, não podemos usar o teorema aqui.

Passo 6

Letra (d)

Vamos entender primeiro como é esse elipsoide

4 x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 = 36

x 2 9 + y 2 4 + z 2 6 = 1

Fazer a integral direta desse cara vai ser bem impossível, o denominador do campo F não vai ser igual a 1 que nem aconteceu na letra (b).

Vamos tentar usar o teorema de Gauss aqui como disse a sugestão

“Ué, mas não acabamos de provar que não pode usar o teorema por causa do ponto ( 0,0 , 0 ) ?”

Dá pra usar o teorema se o nosso sólido não tiver esse ponto, aí tudo bem! Olha só o esboço

Viu que não estamos incluindo a origem no sólido? Estamos pegando a região entre a esfera ( S - ) e o elipsoide ( S 1 )

Tome cuidado com a orientação das superfícies só! Calculamos a integral da esfera com a normal apontada para fora, essa esfera aqui tem que ter a normal apontada pra dentro.

Ve se ajuda isso aqui

O teorema de Gauss fica assim

S - F . n d S + S 1 F . n d S = W d i v F d x d y d z

Passo 7

Bom, já calculamos o divergente que é zero, portanto

W d i v F d x d y d z = 0

Também já calculamos a integral de superfície de S

S - F . n d S = - S F . n d S = - 4 π

É só colocar tudo no teorema então

S - F . n d S + S 1 F . n d S = W d i v F d x d y d z

- 4 π + S 1 F . n d S = 0

S 1 F . n d S = 4 π

Resposta

(a)

d i v F = 0

(b)

S F . n d S = 4 π

(d)

S 1 F . n d S = 4 π

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