Exercícios Resolvidos de Singularidade

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Enunciado

(7) Seja F → = 1 x 2 + z 2 , cos ⁡ x , sin ⁡ y e γ a curva definida como a intersecção do cilindro x 2 + z 2 = 4 com o plano y = 4 . Para calcular ∫ γ   F → ⋅ d s → , usando o teorema de Stokes, podemos considerar a seguinte superfície:

  1. A parte lateral do cilindro x 2 + z 2 = 4 , onde 0 ≤ y ≤ 4
  2. O disco x 2 + z 2 ≤ 4 no plano y = 4
  3. A parte do paraboloide y = x 2 + z 2 , onde 0 ≤ y ≤ 4
  4. A parte da esfera y = 4 + 4 - x 2 - z 2 , onde x 2 + z 2 ≤ 4
  5. A parte da esfera y = 4 - 4 - x 2 - z 2 , onde x 2 + z 2 ≤ 4

Passo 1

Bem, primeiro desenhemos a curva e como o próprio enunciado nos afirmou, ela é a intercessão do cilindro em torno de y , x 2 + z 2 = 4 ...

Com o plano y = 4 fazendo uma secção nesse cilindro:

E a curva é justamente essa circunferência da secção:

Viu só? :D

Passo 2

Bem, usualmente pegaríamos esse disco em cima do plano y = 4 ...

por ser mais simples, e marcaríamos o item b . Massss, tem uma pegadinha aí!

Se você olhar atentamente para o campo

F → = 1 x 2 + z 2 , cos ⁡ x , sin ⁡ y

vai notar uma coisa: se substituíssemos ali x = 0 e z = 0 , ganharíamos uma divisão por 0 o que sabemos ser impossível.

Logo, em todos os pontos que isso acontece (ao longo do eixo y representado em verde abaixo) dizemos que o campo tem uma singularidade e isso não pode acontecer para aplicar Stokes!

Então não podemos pegar esse disco, pois ele corta a singularidade, saca?

Passo 3

Mas não se preocupe, pois não podemos passar pela singularidade, mas podemos dar a volta nele, por isso deveríamos escolher o próprio cilindro azul

indo de y = 0 até a curva que queremos, tornando a letra a , a verdadeira!

Os demais itens estão errados, pois todos eles cortam a singularidade!

Resposta

  1. A parte lateral do cilindro x 2 + z 2 = 4 , onde 0 ≤ y ≤ 4