Exercícios Resolvidos de Singularidade

USP, Cálculo 3, P3 - 2016, Questão 3

Sejam

F x , y , z = ( x , y , z ) 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + ( 0,0 , z 3 )

E S parte do paraboloide z = 5 - x 2 - y 2 , com z 0 , orientada com N 0,0 , 5 = k . Calcule:

S F N d S

Passo 1

O enunciado nos pede uma integral de superfície que parece bem complicada de se resolver, principalmente pela complexidade do campo F . Para tentar simplificar isso ai, vamos aplicar o Teorema de Gauss, o enunciado dele é esse aqui:

W   F . n   d s = W   d i v F   d V

Essa questão aqui tem uma peculiaridade, o campo F = F 1 + F 2 , vamos então ter que fazer tudo para o campo 1 primeiro e depois para o campo 2 . No primeiro vamos ter que remover uma singularidade e no segundo não, por isso facilita dividir o campo nesses dois casos.

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Passo 2

Nosso campo F 1 tem denominador, né? Então ele tem uma singularidade. Nesse caso, o ponto que o denominador é zero é a origem ( 0,0 , 0 ) . Portanto, além de fechar nossa superfície, vamos ter que remover a singularidade do sólido W com uma terceira superfície! Essas duas tem que ser simples de calcular, se não for, não adianta nada tudo isso.

Nosso esboço vai ser esse aqui:

Perceba que usamos o próprio plano z = 0 para fechar o paraboloide.

Além disso, usamos um elipsoide 4 x 2 + y 2 + z 2 = 1 para remover a origem do sólido.

Mas de onde você tirou esse elipsoide pra tirar a origem?? Calma, eu falei que precisamos escolher com muita atenção as superfícies, né? Esse termo aparece exatamente igual no campo F . Quando formos calcular a integral dessa superfície vai ficar tudo bem simples, prometo!

Pelo teorema de Gauss:

S F 1 . n   d s + R F 1 . n   d s + T F 1 . n   d s = W   d i v F 1   d V

Só para deixar bem explícito, a superfície R é o plano z = 0 e a superfície T é o elipsoide. Vamos fazer tudo isso passo a passo bem devagar, vamos lá?

Passo 3

Vamos começar pela integral tripla. Você lembra como calcula o divergente de um campo? É essa fórmula aqui:

d i v F 1 = F 1 x +   F 2 y + F 3 z

Lembrando que o nosso campo é a soma de dois campos:

F x , y , z = ( x , y , z ) 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + ( 0,0 , z 3 )

F 1 x = 1 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - x 3 2 8 x 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

F 1 x = 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 12 x 2 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

F 2 y = 1 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - y 3 2 2 y 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

F 2 y = 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 y 2 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

F 3 z = 1 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - z 3 2 2 z 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

F 3 z = 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 z 2 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

Ta vendo que o termo 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 aparece exatamente igual nas 3 derivadas? Ele vai apareces multiplicado por 3 na nossa soma.

Além disso, o termo 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 aparece multiplicado cada vez por um termo em cada derivada, certo? Vamos colocá-lo em evidência na soma. Fica assim:

d i v F 1 = 3 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - ( 12 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 ) 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

d i v F 1 = 3 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 4 x 2 + y 2 + z 2 1 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3

Somando os expoentes:

d i v F 1 = 3 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 4 x 2 + y 2 + z 2 3 = 0

Que beleza né! Não vamos nem precisar calcular a integral tripla!

W   d i v F 1   d V = 0

Passo 4

Vamos para a integral da superfície R , o plano z = 0 , sua parametrização vai ser:

R u , v = u , v , 0

Nesse caso, o cálculo da normal vai ser feito assim:

n = R u × R v

R u = 1,0 , 0

R v = ( 0,1 , 0 )

n = i j k 1 0 0 0 1 0 = ( 0,0 , 1 )

Só lembre-se que a normal, para o teorema de Gauss, tem que estar apontando para fora do sólido, nesse caso queremos z negativo, portanto a normal correta é:

n = ( 0,0 , - 1 )

Substituindo na integral de superfície:

R F . n d S = R u , v , 0 4 u 2 + v 2 3 2 . 0,0 , - 1 d S

Como isso é um produto escalar, vai dar exatamente zero!

R F . n d S = R 0 d S = 0

Passo 5

Vamos para a nossa outra integral, a da superfície T , que é o elipsoide 4 x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Sua parametrização é a seguinte:

x = cos θ sen ϕ 2

y = sen θ sen ϕ

z = cos ϕ

0 θ 2 π

0 ϕ π 2

Os limites são esses porque só queremos metade do elipsoide, então ϕ não vai de 0 a π . Vamos escrever F 1 com os novos parâmetros, lembrando que escolhemos esses valores justamente para o nosso denominador ficar igual a 1 , portanto:

F 1 ( x , y , z ) = ( x , y , z ) 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2

F 1 θ , ϕ = cos θ sen ϕ 2 , sen θ sen ϕ , cos ϕ

Nossa normal vai ser dada por:

n = T θ × T ϕ

T θ = - sen θ sen ϕ 2 , cos θ sen ϕ ,   0

T ϕ = cos θ cos ϕ 2 , sen θ cos ϕ , - sen ϕ

n = i j k - sen θ sen ϕ 2 cos θ sen ϕ 0 cos θ cos ϕ 2 sen θ cos ϕ - sen ϕ

n = - cos θ sen 2 ϕ , - sen θ sen 2 ϕ 2 , - sen ϕ cos ϕ 2

Vamos ver se a nossa orientação está certa, para perceber isso pegue algum ponto, por exemplo θ = 0 e ϕ = π / 2 , nesse caso o valor da normal é:

n = ( - 1 2 , 0,0 )

Veja que, graficamente, a nossa normal deve apontar para fora do sólido W , certo? Então, nesse caso, nossa orientação da normal é negativa mesmo!

Pronto! Agora vamos calcular a nossa integral, substituindo F 1 , a normal n e os limites de integração:

= 0 2 π 0 π 2 cos θ sen ϕ 2 , sen θ sen ϕ , cos ϕ . - cos θ sen 2 ϕ , sen θ sen 2 ϕ 2 , sen ϕ cos ϕ 2 d ϕ d θ

= - 1 2 0 2 π 0 π 2 cos 2 θ sen 3 ϕ + sen 2 θ sen 3 ϕ + sen ϕ cos 2 ϕ d ϕ d θ

= - 1 2 0 2 π 0 π 2 cos 2 θ + sen 2 θ sen 3 ϕ + sen ϕ cos 2 ϕ d ϕ d θ

= - 1 2 0 2 π 0 π 2 sen ϕ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ d ϕ d θ = - 1 2 0 2 π 0 π 2 sen ϕ d ϕ d θ

Integrando em ϕ

= - 1 2 0 2 π - cos ϕ ϕ = 0 ϕ = π 2 d θ = - 1 2 0 2 π 1 d θ

Integrando em θ

= - 1 2 2 π = - π

T F 1 . n   d s = - π

Passo 6

Voltando para o Teorema de Gauss:

S F 1 . n   d s + R F 1 . n   d s + T F 1 . n   d s = W   d i v F 1   d V

S F 1 . n   d s - π + 0 = 0

S F 1 . n   d s = π

Passo 7

Fizemos tudo isso para o nosso campo F 1 com a singularidade, né? Vamos ter que fazer algo semelhante para o segundo campo, mas fica tranquilo que esse é mais rápido, só de não ter singularidade facilita muito!

F 2 x , y , z = ( 0,0 , z 3 )

Nosso esboço vai ficar bem parecido, só não vamos precisar do elipsoide, então vai ficar assim olha:

Pelo Teorema de Gauss:

S F 2 . n   d s + R F 2 . n   d s = W   d i v F 2   d V

Passo 8

Vamos começar pelo divergente de novo:

d i v F 2 = F 1 x +   F 2 y + F 3 z

= 0 + 0 + 3 z 2

d i v F 2 = 3 z 2

Para calcular a integral tripla, temos que descobrir os limites do nosso sólido. Para calcular isso, vale a pena fazer uma mudança cilíndrica nas variáveis. Portanto:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

z está limitado pelo paraboloide z = 5 - x 2 - y 2 e pelo plano z = 0 , com isso:

0 z 5 - r 2

O paraboloide projetado no eixo z = 0 fica:

x 2 + y 2 = 5

Que é uma circunferência de raio 5 , portanto:

0 r 5

0 θ 2 π

Definidos os limites, agora só resta calcular a integral!

W   d i v F 2   d V = 0 2 π 0 5 0 5 - r 2 3 z 2 r d z d r d θ

= 3 0 2 π 0 5 z 3 3 z = 0 z = 5 - r 2 r d r d θ = 0 2 π 0 5 5 - r 2 3 . r d r d θ

= 0 2 π 0 5 125 r - 75 r 3 + 15 r 5 - r 7 d r d θ

= 0 2 π 125 r 2 2 - 75 r 4 4 + 15 r 6 6 - r 8 8 r = 0 r = 5 d θ

= 0 2 π 625 2 - 1875 4 + 625 2 - 625 8 d θ

= 2 π 2500 - 3750 + 2500 - 625 8 = 2 π 625 8 = 625 π 4

W   d i v F 2   d V = 625 π 4

Passo 9

Agora precisamos calcular a integral de superfície do plano z = 0 , para isso, a parametrização da superfície vai ser:

R u , v = ( u , v , 0 )

F 2 x , y , z = 0,0 , z 3

Só que, como z = 0 , nosso campo escrito com os novos parâmetros fica assim:

F 2 u , v = ( 0,0 , 0 )

Portanto, como o fluxo é nulo, nem precisamos calcular a normal, o valor da integral de superfície com certeza é zero!

R F 2 . n   d s = 0

Passo 10

Voltando para o Teorema de Gauss para o campo F 2 :

S F 2 . n   d s + R F 2 . n   d s = W   d i v F 2   d V

S F 2 . n   d s + 0 = 625 π 4

S F 2 . n   d s = 625 π 4

Passo 11

Finalmente, juntando as integrais de superfície que calculamos para F 1 e F 2 ficamos com:

S F n d S = S F 2 n d S + S F 2 n d S

= π + 625 π 4 = 629 π 4

Resposta

629 π 4

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