Exercícios Resolvidos de Singularidade

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2017.2, Questão 2

Sejam

F x ,   y ,   z = x ,   y ,   z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 / 2   + 4 x y 2 ,   y z 2 ,   25 x 2 z

e S a superfície do elipsoide 25 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 , com vetor normal unitário orientado para fora de S . Calcular o fluxo do campo F através de S .

Passo 1

Bem, a primeira coisa que devemos aqui é entender o problema, e cara, toda vez que um exercício te pedir fluxo de um campo F sobre a superfície S , o que ele quer na real é uma integral de superfície...

F l u x o = S   F n   d S

Porém, esse campo já está definido e partes...

F = F 1 + F 2

onde...

F 1 = x ,   y ,   z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 / 2                         e                       F 2 = 4 x y 2 ,   y z 2 ,   25 x 2 z

Então...

F l u x o = S   F 1 n   d S + S   F 2 n   d S

Então que devemos fazer é calcular cada uma dessas integrais aí. Partiu?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então aqui começar com a integral de superfície de F 2 porque ela não envolve fração sugerindo ser mais fácil.

S   F 2 n   d S

Podemos resolvê-la de duas maneiras:

1º - Forma direta

2º - Teorema de Gauss.

Por termos um campo não tão elegante e uma superfície também não muito bonita, é interessante pensarmos no Teorema de Gauss. Para ter certeza, vamos verificar o divergente:

d i v F 2 = F 1 x + F 2 y + F 3 z

Como F 2 ...

F 2 = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = 4 x y 2 ,   y z 2 ,   25 x 2 z

Calculando cada uma dessas derivadas e somando...

d i v F 2 = 4 y 2 + z 2 + 25 x 2

Bem, esse divergente se parece muito com a equação da superfície S : 25 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 , sugerindo que de fato, vamos utilizar esse teorema.

Passo 3

O Teorema de Gauss nos dá a seguinte igualdade:

S   F 2 n   d S = W   d i v F 2   d V

Mas sim, não podemos aplicar essa igualdade sempre e de qualquer maneira. Temos que estar obedecendo às condições de Gauss:

1º - Ter um sólido W sendo delimitado por uma superfície S .

2º - Não ter nenhuma singularidade onde estamos trabalhando.

3º - Ter um sólido orientado positivamente.

A primeira condição é satisfeita, pois se você desenhar a superfície S , o elipsoide 25 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 , vai notar que ele é fechado e delimita o sólido do seu interior:

(Obs: Não se preocupe muito com o desenho, pois isso não é tão relevante, apenas saiba que é uma superfície fechada ).

A segunda condição, também está funcionando bem, afinal

F 2 = 4 x y 2 ,   y z 2 ,   25 x 2 z

Esse campo, que estamos trabalhando aqui, não tem nenhum problema.

Por última, mas não menos importante, a terceira se trata dos vetores normais. Eles devem estar saindo do sólido, o que já acontece por definição.

Passo 4

Condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar o teorema:

S   F 2 n   d S = W   d i v F 2   d V =

W   4 y 2 + z 2 + 25 x 2   d V

Note que ao invés da integral de superfície, trocamos uma integral tripla, onde sabemos que primeiro, é necessário descrever o sólido W . Como estamos no interior de um elipsoide:

25 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1

Podemos trocar pelas primas das coordenadas esféricas:

5 x = r sin ϕ cos θ

2 y = r sin ϕ sin θ

z = r cos ϕ

O Jacobiano da esférica normal é:

J = r 2 sin ϕ

Como só mudamos multiplicando o x por 5 e o y por 2 , o novo Jacobiano que vamos usar aqui é...

J = r 2 sin ϕ 2 5 = r 2 sin ϕ 10

Os limites de r são...

0 r 1

θ dá uma volta completa ao redor de z para formar o elipsoide...

0 θ 2 π

e ϕ , sai la de cima do eixo z , e vai até lá em baixo, dando portanto uma meia volta...

0 ϕ π

Passo 5

Substituindo tudo na integral tripla não se esquecendo do Jacobiano...

W   4 y 2 + z 2 + 25 x 2   d V = 0 2 π 0 π 0 1 r sin ϕ sin θ 2 + r cos ϕ 2 + r sin ϕ cos θ 2 J   d r d ϕ d θ =

0 2 π 0 π 0 1 r 2 sin 2 ϕ sin 2 θ + r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ cos 2 θ r 2 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ =

Simplificando...

0 2 π 0 π 0 1 r 2 sin 2 ϕ sin 2 θ + cos 2 θ + r 2 cos 2 ϕ r 2 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ =

0 2 π 0 π 0 1 r 2 sin 2 ϕ + r 2 cos 2 ϕ r 2 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ =

0 2 π 0 π 0 1 r 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ r 2 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ = 0 2 π 0 π 0 1 r 4 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ

Prontinho, agora é só integrar

Passo 6

0 2 π 0 π 0 1 r 4 sin ϕ 10   d r d ϕ d θ =

Integrando a de dentro...

0 2 π 0 π sin φ r 5 50 0 1 d ϕ d θ =

Agora a do meio

1 50 0 2 π - cos π - cos 0 d θ = 1 50 0 2 π 2 d θ =

2 2 π 50 = 2 π 25

Passo 7

Bem, a primeira integral de superfície acabou. Agora falta a segunda, com relação ao campo F 1 ...

F 1 = x ,   y ,   z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 / 2  

S   F 1 n   d S

Para resolver essa integral, vamos novamente calcular o divergente, para comprovarmos a eficiência de Gauss:

d i v F 1 = F 1 x + F 2 y + F 3 z

Como...

F 1 = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = x 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 , y 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 , z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2

Calculando a primeira derivada parcial aplicando a regra da fração com atenção...

F 1 x = x x 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 =

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 x x - x x 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 =

Calculando essas derivadas do denominador com cuidado na regra da cadeia...

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - x 3 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 x 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 =

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 12 x 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

Calculando a segunda derivada parcial com paciência...

F 2 y = y y 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 =

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 y y - y y 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 =

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 27 y 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

Agora á ultima...

F 3 z = 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 48 z 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

Somando tudo no divergente...

d i v F 1 = F 1 x + F 2 y + F 3 z

d i v F 1 = 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 12 x 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 + 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 27 y 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 + 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 48 z 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

Colocando esse monstro em evidência...

d i v F 1 = 3 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 12 x 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 - 27 y 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 - 48 y 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

d i v F 1 = 3 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 3 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 1 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2

Por propriedade de potência...

d i v F 1 = 3 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 - 3 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 2 = 0

Esse trabalhão todo pra dar zero kkkk. Não sabemos se choramos ou se sorrimos :’). Nesse caso, vou ficar com o sorrir mesmo, pois realmente vamos aplicar G a u s s novamente!

Passo 8

Repetindo o processo, sabemos que Gauss é:

S   F 1 n   d S = W   d i v F 1   d V

Novamente nas condições:

1º - Ter um sólido W sendo delimitado por uma superfície S .

2º - Não ter nenhuma singularidade onde estamos trabalhando.

3º - Ter um sólido orientado positivamente.

A primeira condição é satisfeita, pois a superfície S :

A segunda condição, aqui já não é satisfeita, afinal o campo

F 1 = x 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 , y 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2 , z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 2

Tem um problema na origem, pois se substituir... Ele zera o denominador. E agora, o que fazer?

Passo 9

A ideia aqui é eliminar esse problema com circundando esse ponto.

Podemos fazer isso com qualquer superfície, mas que tal pegar uma que simplifique o denominador?

Se pegarmos uma superfície S 2 , menor que S , tal que...

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 = 1 9

Esse elipsoide elimina o problema, já que pegamos 1 9 ali e, além disso, ele simplifica o denominador, sacou?

Agora a região W , mudou um pouco e a borda W   dela também:

Afinal, o sólido é esse que vai do elipsoide que colocamos, S 2 , até o elipsoide já existente, S . A sua borda é agora a junção de S 2 e S , por isso, temos que adaptar a fórmula de Gauss:

W   F 1 n   d S = W   d i v F 1   d V  

S   F 1 n   d S + S 2   F 1 n   d S = W   d i v F 1   d V

Passo 10

Por última, mas não menos importante, a terceira condição do Teorema se trata dos vetores normais.

Eles devem estar saindo do sólido, o que já acontece por definição na superfície S . Na superfície que colocamos, S 2 , ele deve estar com o sentido para dentro, para fazer sentido o “vetores saindo do sólido”

Passo 11

Assim...

S   F 1 n   d S + �� S 2   F 1 n   d S = W   d i v F 1   d V

S   F 1 n   d S + S 2   F 1 n   d S = W   0   d V

S   F 1 n   d S + S 2   F 1 n   d S = 0

Como queremos a integral de superfície em cima de S , isolemos...

S   F 1 ��� n   d S = - S 2   F 1 n   d S

Portanto é só calcular a integral de superfície em cima de S 2 e o nosso problema já vai estar basicamente fechado.

Eu sei, parece que não fizemos nada neh. Trocamos uma integral de superfície em cima de um elipsoide por outra. Acontece, que essa outra, o elipsoide simplifica muito o campo. Vem comigo ;)

Passo 12

Vamos então calcular S 2   F 1 n   d S . Aqui não tem muito por onde correr... Afinal, temos que parametrizar S 2 ...

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 = 1 9

Por ser um elipsoide...

36 x 2 + 81 y 2 + 144 z 2 = 1

6 x 2 + 9 y 2 + 12 z 2 = 1

x 2 1 6 2 + y 2 1 9 2 + z 2 1 12 2 = 1

Então essa é um elipsoide com a = 1 6 , b = 1 9 e c = 1 12 ...

A parametrização elíptica é...

x = 1 6 sin φ cos θ

y = 1 9 sin φ sin θ

z = 1 12 cos φ

ou...

σ φ ,   θ = 1 6 sin φ cos θ , �� 1 9 sin φ sin θ ,   1 12 cos φ

Como se trata de uma elipse fechadinha, θ da uma volta completa em torno de z ...

0 θ 2 π

Enquanto que φ gira de 180 ° em cima de z ...

0 φ π

Passo 13

Para calcular o vetor normal n d S ...

n d S = N   d φ d θ

Quanto ao vetor normal, normalmente calculamos fazendo:

N = σ φ ,   θ φ × σ φ ,   θ θ

Mas, como a parametrização é elíptica, seu cálculo já é manjado e vale:

N = - a b c sin φ sin φ cos θ a , sin φ sin θ b , cos φ c

Esse menos é só porque queremos o vetor apontado para dentro, para a origem...

N = - b c sin 2 φ cos θ , - a c sin 2 φ sin θ , - a b sin φ cos φ  

com a = 1 6 , b = 1 9 e c = 1 12 ...

N = - 1 108 sin 2 φ cos θ , - 1 72 sin 2 φ sin θ , - 1 54 sin φ cos φ

Passo 14

Quanto ao campo vetorial F 1 ...

F 1 = x ,   y ,   z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 / 2  

Como arrumamos uma superfície tal que

4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 = 1 9

F 1 = x ,   y ,   z 1 9 3 / 2   = x ,   y ,   z 1 9 3 / 2   = 27 x ,   y ,   z

Trocando esses caras pelos termos da parametrização...

F 1 σ φ ,   θ = 27 1 6 sin φ cos θ ,   1 9 sin φ sin θ ,   1 12 cos φ

Passo 15

Voltando para a integral de superfície...

S 2   F 1 n   d S

E substituindo...

0 2 π 0 π 27 1 6 sin φ cos θ ,   1 9 sin φ sin θ ,   1 12 cos φ - 1 108 sin 2 φ cos θ , - 1 72 sin 2 φ sin θ , - 1 54 sin φ cos φ   d φ d θ =

Simplificando depois de calcular o produto interno...

0 2 π 0 π - 1 24 sin φ   d φ d θ = 0 2 π - 1 24 cos π - cos 0 d θ =

1 12 0 2 π d θ = 1 6 π

Passo 16

Voltando ao inicio quando falamos que...

F l u x o = S   F 1 n   d S + S   F 2 n   d S

F l u x o = 2 π 25 + π 6 =

37 π 150

Resposta

37 π 150

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