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Exercícios Resolvidos de Sistemas de primeira ordem

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Enunciado

Sejam as funções de transferência abaixo:

G 1 s = 5 s + 10

G 2 s = 0,5 0,8 s + 1

G 3 s = 20 2 s + 20

Determine:

O ganho e a constante de tempo de cada sistema;

O valor final no estado estacionário após uma perturbação degrau unitário para cada sistema.

Passo 1

O primeiro item pede que a gente calcule os valores de K e τ para cada sistema. Para isso, precisamos comparar nossas funções de transferência com a função de transferência padrão de primeira ordem.

G s = K τ s + 1

Para fazer essa comparação precisamos fazer aparecer aquele 1 no denominador da F.T.

Em G 1 , vamos dividir o numerador e o denominador por 10 , então:

G 1 s = 0,5 1 10 s + 1

A função de transferência G 2 já está no formato que a gente precisa, então não vamos mexer em nada nela.

A G 3 tem um 20 no denominador, então vamos dividir tanto o numerado quanto o denominador para chegar naquele 1 que a gente precisa.

G 3 s = 1 1 10 s + 1

Passo 2

Agora que já modificamos nossas funções pra elas ficarem no modelo padrão, a gente só precisa comparar elas com a F.T. padrão ara encontrar nossos parâmetros.

K 1 = 0,5             τ 1 = 1 10

K 2 = 0,5             τ 2 = 0,8

K 3 = 1                     τ 3 = 1 10

Passo 3

Para determinar o valor do estado estacionário, devemos utilizar o teorema da valor final:

lim t → ∞ ⁡ f t = lim s → 0 ⁡ s F ( s )

Calma, te explico.

Esse teorema diz que o valor no infinito de uma função é igual ao limite de s → 0 de sua trnsformada vezes s .

Como a entrada é do tipo degrau unitário também devemos multiplicar nossas funções de transferência por 1 s . Entçao, para G 1 :

lim s → 0 ⁡ s 0,5 1 10 s + 1 . 1 s = 0,5

Para G 2 :

lim s → 0 ⁡ s 0,5 0,8 s + 1 . 1 s = 0,5

Para G 3 :

lim s → 0 ⁡ s 1 1 10 s + 1 . 1 s = 1

Obs: podemos perceber que o valor final para as funções de primeira ordem com entrada degrau sempre será o ganho multiplicado pela amplitude do degrau.