Exercícios Resolvidos de Sistemas discretos no tempo

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Enunciado

Uma pessoa faz regularmente um depósito (a entrada) em um banco a cada mês. O banco paga um certo juros na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo (a saída) ao depositante. Determine a equação que correlaciona e saída y   [ n ] (o saldo) com a entrada x [ n ] (o depósito).

Considere que r é a taxa de juros por real por mês.

Passo 1

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve o cenário acima.

Todo mês, a pessoa deposita um certo dinheiro, além de receber uma taxa do banco. Essa pessoa é muito regrada e focada e não saca nem gasta nada. Sendo assim, teremos:

V a r i a ç ã o   n a   c o n t a = D e p ó s i t o + { J u r o s }

Passo 2

A variação na conta de um mês para o outro será a diferença entre esses valores, ou seja:

V a r i a ç ã o   n a   c o n t a = y n - y [ n - 1 ]

O depósito, é a variável de entrada do nosso problema:

D e p ó s i t o = x [ n ]

E os juros serão sempre concendidos em cima do valor do mês anterior, ou seja:

J u r o s = r y [ n - 1 ]

Portanto, teremos:

y n - y n - 1 = x n + r y [ n - 1 ]

Passando o y n - 1 para a esquerda, teremos:

y n = x n + 1 + r y [ n - 1 ]

Resposta

y n = x n + 1 + r y [ n - 1 ]