Exercícios Resolvidos de Sistemas discretos no tempo

Ver Teoria

Enunciado

Um sistema de tempo discreto é definido pela seguinte equação de diferenças:

y n = x n 1 - x n - 1

  1. Esse sistema é causal? Justifique
  2. Esse sistema tem memória? Justifique
  3. Esse sistema é linear? Justifique
  4. O sistema é invariante no tempo? Justifique

Passo 1

Bom esse é moleza. Sistema causal é aquele que não tem termo antecipativo, como é o caso do nosso amiguinho aqui.

Portanto ele é sim causal.

Passo 2

Sistema com memória é aquele que depende de valores “atrasados”, seja de entrada ou de saída.

Nesse caso, temos aqui que y [ n ] depende diretamente de x [ n - 1 ] , portanto, o sistema tem memória.

Passo 3

A melhor forma de ver se o sistema é linear ou não e supondo valores e testanto.

Por exemplo, primeiramente vamos deixer que:

x 1 n = 2

x 1 n - 1 = - 1

Com esses valores, teremos:

y 1 n = 4

Agora vamos supor:

x 2 [ n ] = 1

x 2 n - 1 = 0

Com esses valores, teremos:

y 2 n = 1

Até aqui, a gente só chutou números né, agora vem o teste em si. Para atender ao teste da aditividade, o seguinte tem que ser verdadeiro:

y 1 n + y 2 n = F ( x 1 n + x 2 n )

Ou seja, vamos calular novamente a função, agora somando os valores:

x 3 n = x 2 n + x 1 n = 1 + 2 = 3

x 3 n - 1 = x 2 n - 1 + x 1 n - 1 = 0 - 1 = - 1

`Portanto:

y 3 n = 6

Para atender ao critério:

y 3 n = y 2 n + y 1 [ n ]

6   ≠ 5

Portanto, não é linear pois não atendeu ao critério da aditividade.

Podemos fazer o teste também pelo critério da homogeneidade. Através desse critério se multiplicarmos as entradas por um fator, a saída também precisa ser multiplicada pelo mesmo fator.

Voltando ao primeiro exemplo, nós tínhamos:

x 1 n = 2

x 1 n - 1 = - 1

E isso gerou:

y n = 4

Pelo critério da homogeinidade, se as entradas forem dobradas, a saída também deverá ser dobrada. Vamos ver se isso acontece:

x 2 n = 4

x 2 n - 1 = - 2

Assim teremos:

y 2 n = 12

Ou seja, o sistema não atende nem ao critério da homogeinidade nem ao da aditividade, e portanto, não é linear.

Passo 4

Por fim, precisamos apenas checar se ele é invariante no tempo.

Isso quer dizer que se atrasrmos ou adiantarmos as entradas uma certa quantidade, a saída deverá ser adianta ou atrasada igualmente.

Se atrasarmos as entradas em uma unidade teremos:

y n - 1 = x [ n - 1 ] ( 1 - x n - 2 )

O sistema é então invariante no tempo.

Sistemas não invariantes geralmente são aqueles que dependem do próprio termo, por exemplo:

y n = n x [ n ]

Esse n do lado de fora, torna o sistema não invariante, o que não é o caso do sistema do nosso enunciado.

Resposta

  1. Causal
  2. Tem memória
  3. Não é linear
  4. Invariante no tempo