Exercícios Resolvidos de Sistemas discretos no tempo

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Enunciado

A saída de uma caixa registradora y [ n ] o custo total de n itens registrados pelo caixa. A entrada x [ n ] é o custo do n-ésimo item:

(a) Escreva a equação relacionando y [ n ] com a entrada x [ n ] .

(b) Represente o diagrama de blocos desse sistema usando um elemento de atraso de tempo.

Passo 1

A saída y [ n ] representa a soma de todos os itens vendidos até aquele momento. Cada item tem valor x [ n ] , sendo assim, podemos escrever y [ n ] como:

y n = x n + x n - 1 + x n - 2 + … + x 2 + x [ 1 ]

A expressão acima está correta e poderia ser a resposta, entretanto existe uma forma mais elegante de escrever isso (e também vai ajudar a gente pro item b)

Analogamente à forma como escrevemos a expressão de y [ n ] , podemos também escrever a expressão de y [ n - 1 ] :

y n - 1 = x n - 1 + x n - 2 + … + x 2 + x [ 1 ]

Podemos ver que a y [ n - 1 ] é igual à toda a parte final da expressão de y [ n ] , podemos então fazer a substituição e ficaremos com:

y n = x n + y [ n - 1 ]

Passo 2

O diagrama de blocos para o sistema poderá ser representado da seguinte maneira:

Para gerar a saída y [ n ] devemos somar a entrada x [ n ] com a própria saída atrasada y [ n - 1 ] . Sendo assim, a gente realimenta o sistema com a própria saída, mas antes de somá-la à entrada, ela deve passar por um bloco de onde ela sairá atrasada.

Resposta

y n = x n + y [ n - 1 ]