Exercícios Resolvidos de Sistemas discretos no tempo

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Enunciado

Seja p [ n ] a população de um certo país no começo do n-ésimo ano. As taxas de nascimento e mortalidade da população durante qualquer ano são 3,3 e 1,3 % respectivamente. Se i [ n ] é o número total de imigrantes entrando no país durante o enésimo ano, escreva a equação relacionando p [ n + 1 ] , p [ n ] e i [ n ] . Assuma que os imigrantes entram no país ao longo do ano em uma taxa uniforme.

Passo 1

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve esse modelo populacional.

Antes de começar a escrever a matemática do problema, vamos pensar melhor nele. Todo ano nesse país, um certo número de pessoas morres, um certo número de pessoas nascem e além disso, novas pessoas chegam do exterior.

Sendo assim, podemos afirmar que a diferença de população de um ano para o outro será igual ao número de pessoas que nascem, menos o núemero de pessoas que morrem mais o número de pessoas que imigram para esse país.

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = N a s c i m e n t o s - M o r t e s + { I m i g r a n t e s }

Passo 2

Vamos começar a substituir cada parcela dessa pelos seus termos matemáticos.

A variação da população, pode ser escrita como a diferença da população de um ano em relação ao ao anterior. Ou seja:

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = p n + 1 - p [ n ]

Também poderíamos escrever como:

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = p n - p [ n - 1 ]

Mas como o enunciado pede que a expressão relacione p n + 1 , vamos manter da primeira forma.

Estamos assim então:

p n + 1 - p [ n ] = N a s c i m e n t o s - M o r t e s + { I m i g r a n t e s }

Passo 3

Os nascimentos e mortes são dados no enunciado, e dependem do valor da população do ano atual.

N a s c i m e n t o s = 0,033 p [ n ]

M o r t e s = 0,013 p [ n ]

Substituindo na expressão:

p n + 1 - p [ n ] = 0,033 p [ n ] - 0,013 p [ n ] + { I m i g r a n t e s }

Por fim, o número de imigrantes que chegam ao país é uma constante, que pode ser expressa como:

I m i g r a n t e s = i [ n ]

Sendo assim:

p n + 1 - p [ n ] = 0,033 p [ n ] - 0,013 p [ n ] + i [ n ]

Passo 4

Como temos alguns termos que dependem de p [ n ] , podemos juntar tudo em um só:

p n + 1 - p n - 0,033 p n + 0,013 p n = i [ n ]

p n + 1 - 1,02 p n = i [ n ]

Resposta

p n + 1 - 1,02 p n = i [ n ]