Exercícios Resolvidos de Sistemas multivariável

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Enunciado

Dado o sistema multivariável mostrado abaixo, onde y 1 e y 2 são as respostas e x 1 e x 2 são as entradas.

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

y 2 = x 1 + 6 x 2

Sabe-se que os valores no estado estacionário são:

x 1 - = 1

x 2 - = 5

As malhas tem interação positiva ou negativa?

Passo 1

Para calcular se a interalção entre as malhas é positiva ou negativa, devemos calcular qualquer um dos ganhos relativos. Se o ganho relativo estiver entre 0 e 1 a interação será positiva, entretanto, se for maior que 1 ou negativo, a interação será negativa. Sendo assim, vamos calcular o ganho relativo μ 11 e ver o que ele nos diz sobre a interação das malhar

Primeiramente vamos calcular o valor das respostas em estado estacionário. Substituindo x 1 - e x 2 - teremos:

y 1 - = - 29 2

y 2 - = 31

Passo 2

Como:

μ 11 = K 11 K 11 '

Precisamos calcular os dois ganhos, o de malha aberta e o de malha fechada.

O ganho K 11 é a relação entre a variação da saída y 1 com a entrada x 1 quando x 2 é constante.

Ou seja:

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

Vamos considerar uma variação unitária para x 1 e manteremos x 2 constante. Portanto:

x 1 = 2

x 2 = x 2 - = 5

Calculando o novo y 1 :

y 1 = - 14

Portanto o ganho K 11 será:

K 11 = Δ y 1 Δ x 1 = - 14 + 29 2 2 - 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos calcular o ganha em malha fechada K 11 ' que é a relação entre a variação de y 1 e x 1 quando y 2 é constante.

Vamos novamente fazer uma variação unitária em x 1 , mas temos que ver qual será a variação sofrida por x 2 para que y 2 fique constante:

y 2 = x 1 + 6 x 2

Com:

x 1 = 2

y 2 = y 2 - = 31

Teremos :

x 2 = 29 6

Jogando na expressão para y 1 teremos:

y 1 = 1 2 x 1 - 3 x 2

y 1 = - 27 2

Calculando K 11 ' :

K 11 ' = Δ y 1 Δ x 1 = - 27 2 + 29 2 2 - 1 = 1

Passo 4

Por fim, vamos calcular o ganho relativo:

μ 11 = K 11 K 11 ' = 1 2 1 = 1 2

Como o ganho relativo está entre 0 e 1 , a interação entre as malhas acontece de forma positiva.

Resposta

Interação positiva