Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   A dimensão do espaço das matrizes simétricas 2 × 2 é 4 .

b   As matrizes 1 0 1 0 , 0 0 1 0 , 0 1 0 1 , 0 1 1 0 formam uma base para o espaço as matrizes 2 × 2 .

c   Se V e W são subespaços vetoriais de R 5 de dimensão 3 então o único vetor em comum é o vetor 0,0 , 0,0 , 0 .

d   Se os vetores v 1 → , v 2 → , v 3 → são linearmente dependentes então os vetores w 1 → = v 1 → + v 2 → , w 2 → = v 1 → + v 3 → , w 3 → = v 2 → + v 3 → são linearmente independentes.

Passo 1

Vamos letra por letra!

a As matrizes simétricas 2 × 2 tem essa cara:

a c c b = a 1 0 0 0 + b 0 0 0 1 + c 0 1 1 0

Bom, como podemos perceber, a dimensão do espaço das matrizes simétricas é 2 × 2 é 3 e não 4 ;)

Passo 2

b Bom, o espaço das matrizes 2 × 2 tem dimensão 4 , e nós temos 4 termos na base. Agora resta saber se eles são L I . Pra ficar mais fácil de verificar vamos fazer a seguinte transformação:

a c b d → a , b , c , d

Então as matrizes passam a ser os vetores 1 , 1,0 , 0 , 0,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 , 0,1 , 1,0 . Agora jogamos nas linhas de uma matriz e escalonamos:

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 → L 4 ← L 4 - L 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 → L 4 ← L 4 - L 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1

Pronto. Nenhuma linha zerou então os vetores são L I . Logo, aquela é de fato uma base para o espaço das matrizes 2 × 2 . Então essa é a verdadeira. Mesmo assim, vamos ver porque as outras são falsas.

Passo 3

c   Ta, pensa comigo. V e W são espaços de dimensão 3 . E o único vetor em comum, ou a interceção deles é o 0 , que no caso tem dimensão 0 . Bom, isso quer dizer que a soma deles gera 6 dimensões né?? Lembre-se da fórmula:

dim ⁡ V + W = dim ⁡ V ⏟ 3 + dim ⁡ W ⏟ 3 - dim ⁡ V ∩ W ⏟ 0 = 6

Ora, mas se eles estão contidos no R 5 a soma deles NUNCA pode gerar 6 dimensões, então essa é falsa!

Passo 4

d   Po os vetores v 1 → , v 2 → , v 3 → são L D . Então absolutamente nenhuma combinação que você fizer deles vai conseguir gerar 3 vetores L I ! NUNCA. Então essa é falsa também.

Resposta

Letra b

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