Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

Considere os subespaços de M 2 ( R ) definidos por

S 1 = { A ∈ M 2 R   :   A t = A   e   t r A = 0 }

E

S 2 = 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1

Em que A t denota a transposta de matriz A e t r ( A ) denota a soma das entradas na diagonal principal da matriz A . Temos que a dimensão de S 1 + S 2 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 2
  2. 3
  3. 1
  4. 4
  5. 0

Passo 1

Faaaala, pessoal. Após definirmos um conjunto gerador para S 1 teremos que a união dos geradores de S 1 e S 2 gera o subespaço soma. Determinando o menor número de elementos L.I. dessa união temos sua dimensão.

Primeiramente, veja que todos os elementos de S 1 são dados por:

A = a b b - a

= a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0

Logo,

S 1 = 1 0 0 - 1 , 0 1 1 0

Passo 2

Segundamente, para todo elemento A = B + C ∈ S 1 + S 2 ,   com B ∈ S 1 e C ∈ S 2 , temos:

A =   a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0 + c 0 2 1 3 + d 2 - 1 1 - 1

Logo,

S 1 + S 2 = 1 0 0 - 1 , 0 1 1 0 , 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1

Para verificar se são L.I. temos que provar que a combinação linear nula só tem a solução trivial a = b = c = d = 0 :

a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0 + c 0 2 1 3 + d 2 - 1 1 - 1 = 0 0 0 0

Se em cada posição da matriz tomarmos a equação correspondente resulta:

a + 2 d = 0 b + 2 c - d = 0 b + c + d = 0 - a + 3 c - d = 0

Neste momento, cabe ressaltar que se o determinante da matriz de coeficientes for diferente de 0 , o sistema será possível e determinado, i.e., só haveria a solução trivial. Assim, testando-o:

1 0 0 2 0 1 2 - 1 0 1 1 1 - 1 0 3 - 1 L 4 ' → L 4 + L 1 =   1 0 0 2 0 1 2 - 1 0 1 1 1 0 0 3 1 L a p l a c e   =  

= 1 ⋅ - 1 1 + 1 1 2 - 1 1 1 1 0 3 1 L 2 ' → L 2 - L 1 =   1 2 - 1 0 - 1 2 0 3 1 L a p l a c e =  

= 1 ⋅ - 1 1 + 1 - 1 2 3 1 = - 7 ≠ 0

Donde resulta que o conjunto gerador:

1 0 0 - 1 , 0 1 1 0 , 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1  

de S 1 + S 2 é L.I. E, portanto, dim ⁡   ( S 1 + S 2 ) = 4 .

Resposta

d. 4

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No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: