Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

Considere os subespaços W 1 e W 2 do espaço vetorial M 2 × 2 R , cujas bases são:

β W 1 = 1 0 - 1 1 , - 1 1 1 - 1

β W 2 = 2 - 1 0 1 , 1 - 1 3 - 1

a Determine uma base para o subespaço soma W 1 + W 2 . Esta é uma soma direta?

b Determine uma base para o subespaço W 1 ∩ W 2 .

Passo 1

a O subespaço W 1 + W 2 é formado por todas as combinação possíveis de todos os vetores de W 1 com todos os vetores de W 2 . E sabemos que podemos obter um conjunto gerador para a soma de subespaços unindo os conjuntos geradores de cada um deles! Então seja H = W 1 + W 2 , temos:

H = s p a n 1 0 - 1 1 , - 1 1 1 - 1 , 2 - 1 0 1 , 1 - 1 3 - 1

Resta saber agora se isso é uma base de H , ou seja, se esses vetores são L I ! Para facilitar nossa vida, vamos escrever essas matrizes em função da base canônica 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 . Desse modo, teremos:

H = s p a n 1,0 , - 1,1 , - 1,1 , 1 , - 1 , 2 , - 1,0 , 1 , 1 , - 1,3 , - 1

Para verificarmos se esses vetores são L I é só jogarmos eles nas colunas de uma matriz e escalonarmos:

1 0 - 1 1 - 1 1 1 - 1 2 - 1 0 1 1 - 1 3 - 1 → L 2 ← L 2 + L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 L 4 ← L 4 - L 1 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 - 1 2 - 1 0 - 1 4 - 2 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 + L 2 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 0 2 - 1 0 0 4 - 2 → L 4 ← L 4 - 2 L 3 1 0 - 1 1 0 1 0 0 0 0 2 - 1 0 0 0 0

Opa, a última linha foi pro espaço, então ela é combinação linear das outras! Logo, uma base para W 1 + W 2 é:

β = 1 0 - 1 1 , - 1 1 1 - 1 , 2 - 1 0 1

Passo 2

A soma de dois subespaços é direta se a interseção deles tem dimensão 0 . Mas, nesse caso, temos:

dim ⁡ W 1 + W 2 ⏟ 3 = dim ⁡ W 1 ⏟ 2 + dim ⁡ W 2 ⏟ 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2

Logo,

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = 1 ≠ 0

Então a soma não é direta.

Passo 3

b Beleza, o próximo passo é encontrar uma base para W 1 ∩ W 2 ! Sabemos pelo que vimos no último passo que a interseção dos dois tem dimensão 1 ! Falta saber quem é o vetor que gera essa dimensão.

Vamos chamar esse cara que pertence à interseção de W 1 com W 2 por v . Então esse cara tem que ser gerado por W 1 e por W 2 também:

v = a 1 0 - 1 1 + b - 1 1 1 - 1 = c 2 - 1 0 1 + d 1 - 1 3 - 1

a - b b b - a a - b = 2 c + d - c - d 3 d c - d

a - b = 2 c + d ⇒ a - b - 2 c - d = 0 b = - c - d ⇒ b + c + d = 0 b - a = 3 d ⇒ - a + b - 3 d = 0 a - b = c - d ⇒ a - b - c + d = 0

Passando pra forma matricial teremos a matriz aumentada:

1 - 1 - 2 - 1 0 1 1 1 - 1 1 0 - 3 1 - 1 - 1 1 0 0 0 0 → L 3 ← L 3 + L 1 L 4 ← L 4 - L 1 1 - 1 - 2 - 1 0 1 1 1 0 0 - 2 - 4 0 0 1 2 0 0 0 0 → L 4 ← L 4 + L 3 2 1 - 1 - 2 - 1 0 1 1 1 0 0 - 2 - 4 0 0 0 0 0 0 0 0

a - b - 2 c - d = 0 b + c + d = 0 c + 2 d = 0       I I I I I I

De I I I :

c = - 2 d

Substituindo em I I :

b - 2 d + d = 0

b = d

Substituindo em I :

a - d + 4 d - d = 0

a = - 2 d

Logo, nosso vetor genérico de W 1 ∩ W 2 é:

a - b b b - a a - b = - 2 d - d d d + 2 d - 2 d - d = - 3 d d 3 d - 3 d = d - 3 1 3 - 3

E a base é dada por:

β W 1 ∩ W 2 = - 3 1 3 - 3

Resposta

a β W 1 + W 2 = 1 0 - 1 1 , - 1 1 1 - 1 , 2 - 1 0 1 . Não é uma soma direta.

b β W 1 ∩ W 2 = - 3 1 3 - 3

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