Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

Seja γ   ∈ R . Considere os vetores u =   1 1 γ 0 ,   v = γ 1 1 0 ,   w = 1 γ 1 0   ∈ M 2 R . O subespaço vetorial gerado por u,v,e w tem dimensão 3, se e somente se:

Passo 1

Falaaa, blz????? Bora para mais uma questãozinha. Bom, nessa questão aqui ela nos pede que o espaço gerado por 3 vetores tenha dimensão 3, como já foi visto em outros problemas dessa prova, para que um espaço gerado por 3 vetores tenha dimensão 3, eles devem ser L.I. Ou seja, nossa motivação para esse problema é achar valores de γ   que faça os vetores serem L.I.

Passo 2

Então vamos lá, para 3 vetores serem L.I. nós temos que a equação abaixo deve ter solução diferente de a = b = c = 0

a u + b v + c w = 0 M 2 R

a 1 1 γ 0 + b γ 1 1 0 + c 1 γ 1 0 =   0 0 0 0

Passo 3

Ou seja:

a + b γ + c = 0 a + b + c γ = 0 a γ + b + c = 0

Subtraindo as duas últimas equações:

a - a γ + c γ - c = 0

a - c - γ a - c = 0

1 - γ a - c = 0

Caso a - c = 0 teríamos que a = b = c = 0 solução, o que estamos querendo, porém para isso ocorrer, temos que 1 - γ   ≠ 0   ∴   γ   ≠ 1

Além disso, somando todas equações:

2 a + 2 b + 2 c + γ a + b + c = 0

2 + γ a + b + c = 0

Queremos a + b + c = 0 , o que resultaria em a = b = c = 0 , mas para isso ocorrer:

2 + γ ≠ 0 ∴ γ ≠ - 2

Resposta

γ   ≠ 1   e   γ ≠ - 2

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