Exercícios Resolvidos de Soma e Subtração de Frações

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Enunciado

6) Escreva as expressões abaixo na forma de uma única fração, seguindo o exemplo do item (a):

a) x + 1 x - 1 - 1 x 2 - 1 = x + 1 2 - 1 x 2 - 1 = x 2 + 2 x x 2 - 1

b) - 4 x y x 2 - y 2 - x - y x + y - x + y x - y

c) a - 3 a + 4 - a - 5 3 - a - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12

d) 2 x - 1 3 x + 1 - 2 x 2 x - x - 1 4 x

e) 2 x - 8 x x + 2

f) x x - 1 + x + 2 x - 2

Passo 1

Falaaa... Tudo bem??

Nessa questão vamos ter que transformar algumas frações em uma só.

Pra isso vamos precisar achar o MMC entre os denominadores. Multiplicar o que falta, em cada uma, em cima e embaixo.

Bora botar a mão na massa que fica mais claro.

Passo 2

b) - 4 x y x 2 - y 2 - x - y x + y - x + y x - y

Para o MMC entre x 2 - y 2 ,   x + y e x - y temos x 2 - y 2 .

Lembra que x 2 - y 2 = x - y x + y , então pra segunda fração falta multiplicar em cima e embaixo por x - y e a terceira por x + y .

- 4 x y x 2 - y 2 - x - y x + y - x + y x - y = - 4 x y x 2 - y 2 - x - y x + y ⋅ x - y x - y - x + y x - y ⋅ x + y x + y

= - 4 x y x 2 - y 2 - x - y 2 x 2 - y 2 - x + y 2 x 2 - y 2

= - 4 x y - x 2 - 2 x y + y 2 - x 2 + 2 x y + y 2 x 2 - y 2

= - 4 x y - x 2 + 2 x y - y 2 - x 2 - 2 x y - y 2 x 2 - y 2

= - 2 x 2 - 4 x y - 2 y 2 x 2 - y 2

= - 2 x 2 + 2 x y + y 2 x 2 - y 2

= - 2 x + y 2 x - y x + y

= - 2 x + y x - y

Passo 3

c) a - 3 a + 4 - a - 5 3 - a - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12

Repara que

a 2 + a - 12 = a 2 + 4 a - 3 a - 12

= a a + 4 - 3 a + 4

= a + 4 a - 3

Vamos trocar o sinal da segunda fração, pra fazer aparecer o a - 3 ...

  a - 3 a + 4 - a - 5 3 - a - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12 =   a - 3 a + 4 + a - 5 a - 3 - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12

Para o MMC entre a + 4 ,   a - 3 e a 2 + a - 12 temos a 2 + a - 12 .

Como a 2 + a - 12 = a + 4 a - 3 , então pra primeira fração falta multiplicar em cima e embaixo por a - 3 e pra segunda, por a + 4 .

a - 3 a + 4 + a - 5 a - 3 - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12 = a - 3 a + 4 ⋅ a - 3 a - 3 + a - 5 a - 3 ⋅ a + 4 a + 4 - a 2 - 9 a - 3 a 2 + a - 12

= a - 3 2 a + 4 a - 3 + a - 5 a + 4 a + 4 a - 3 - a 2 - 9 a - 3 a + 4 a - 3

= a 2 - 6 a + 9 + a 2 + 4 a - 5 a - 20 - a 2 - 9 a - 3 a + 4 a - 3

= a 2 + 2 a - 8 a + 4 a - 3

= a 2 + 4 a - 2 a - 8 a + 4 a - 3

= a a + 4 - 2 a + 4 a + 4 a - 3

= a + 4 a - 2 a + 4 a - 3

= a - 2 a - 3

Passo 4

d) 2 x - 1 3 x + 1 - 2 x 2 x - x - 1 4 x

Para o MMC entre 3 x ,   2 x e 4 x temos 12 x .

Então pra primeira fração falta multiplicar em cima e embaixo por 4 , a segunda, por 6 e a terceira, por 3 .

2 x - 1 3 x + 1 - 2 x 2 x - x - 1 4 x = 2 x - 1 3 x ⋅ 4 4   + 1 - 2 x 2 x ⋅ 6 6 - x - 1 4 x ⋅ 3 3

= 4 2 x - 1 12 x + 6 1 - 2 x 12 x - 3 x - 1 12 x

= 8 x - 4 + 6 - 12 x - 3 x + 3 12 x

= - 7 x + 5 12 x

Passo 5

e) 2 x - 8 x x + 2

Podemos reescrever da forma:

2 x 1 - 8 x x + 2

Para o MMC entre 1 e x + 2 temos x + 2 .

Então pra primeira fração falta multiplicar em cima e embaixo por x + 2 .

2 x 1 - 8 x x + 2 = 2 x 1 ⋅ x + 2 x + 2 - 8 x x + 2

= 2 x x + 2 x + 2 - 8 x x + 2

= 2 x 2 + 4 x - 8 x x + 2

= 2 x 2 - 4 x x + 2

= 2 x x - 2 x + 2

Passo 6

f) x x - 1 + x + 2 x - 2

Para o MMC entre x - 1 e x - 2 temos x - 1 x - 2 .

Então para a primeira fração falta multiplicar em cima e embaixo por x - 2 e pra primeira, por x - 1 .

x x - 1 + x + 2 x - 2 = x x - 1 ⋅ x - 2 x - 2 + x + 2 x - 2 ⋅ x - 1 x - 1

= x x - 2 x - 1 x - 2 + ( x + 2 ) ( x - 1 ) x - 1 x - 2

= x 2 - 2 x + x 2 - x + 2 x - 2 x - 1 x - 2

= 2 x 2 - x - 2 x - 1 x - 2

Resposta

b) - 2 x + y x - y

c) a - 2 a - 3

d) - 7 x + 5 12 x

e) 2 x x - 2 x + 2

f) 2 x 2 - x - 2 x - 1 x - 2