Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Desconhecidos

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Enunciado

Des cobaias foram submetidas ao tratamento de ganho de peso com certa ração. Os pesos em gramas, antes e após o teste, são dados segundo a tabela:

A 1% de significância, podemos concluir que a ração contribui para o aumento do peso médio das cobaias?

Passo 1

Precisamos descobrir se o peso médio das cobaias realmente aumentou depois do tratamento, e nós só conhecemos os dados amostrais. Então estamos num teste de hipótese para comparação entre médias (pesos médios!) com desvio padrão desconhecido (já que só conhecemos os dados amostrais, e não os populacionais).

Passo 2

Vamos começar definindo nossas hipóteses. Na nula, sempre igualamos os dois parâmetros que estamos testando:

H 0 :     μ 1 = μ 2

Na alternativa, como queremos verificar se a média dos pesos aumentou:

H 1 :     μ 1 < μ 2

Então estamos num teste unilateral inferior!

Passo 3

Antes de tudo vamos calcular nossas médias e desvio padrões. Primeiro para os dados antes da ração:

x - 1 = 62 5 + 704 + 662 + 560 + 603 + 745 + 698 + 575 + 633 + 669 10 = 647,4

s 1 = ∑ ( x i - x - ) ² n - 1 = 625 - 647,4 2 + 704 - 647,4 2 + 662 - 647,4 2 + 560 - 647,4 2 + 603 - 647,4 2 + 745 - 647,4 2 + 698 - 647,4 2 + 575 - 647,4 2 + 633 - 647,4 2 + ( 669 - 647,4 ) ² 10 - 1

s 1 = 61,5

E agora para os dados depois da ração:

x - 2 = 640 + 712 + 681 + 558 + 610 + 740 + 707 + 585 + 635 + 682 10 = 655

s 2 = ∑ ( x i - x - ) ² n - 1 = 640 - 655 2 + 712 - 655 2 + 681 - 655 2 + 558 - 655 2 + 610 - 655 2 + 740 - 655 2 + 707 - 655 2 + 585 - 655 2 + 635 - 655 2 + ( 682 - 655 ) ² 10 - 1

s 2 = 59,2

Passo 4

Agora vamos nos situar melhor. Estamos em um teste de hipótese para comparação entre duas médias, com σ desconhecidos e temos amostras menores que 30 .

Para esse caso, nossa estatística de teste é dada pelo teste T:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 s 1 2 n + s 2 2 m

Lembrando que n = m = 10 , pois temos dez cobaias, podemos substituir todos os valores na fórmula e achar a estatística de teste:

T t e s t e = 647,4 - 655 61,5 2 10 + 59,2 2 10 = - 0,28

Passo 5

Agora podemos calcular nosso ponto crítico, que para o teste unilateral inferior é:

t c r i t i c o = - t 1 - α

Sabemos que α = 0,01 (pois é pedido 1% de significância), mas falta saber o número de graus de liberdade v para procurar esse t c r i t i c o na tabela. Agora é a hora de usar aquela fórmula feiosa:

v = s 1 2 n + s 2 2 m 2 s 1 2 n 2 n - 1 + s 2 2 m 2 m - 1

v = 61,2 ² 10 + 59,2 ² 10 2 61,2 ² 10 2 10 - 1 + 59,2 ² 10 2 10 - 1 ≈ 17,98 → v = 17

Lembrando que sempre arredondamos para baixo para manter v o mais conservativo possível. Então nosso t c r i t i c o :

- t 1 - 0,01 ; 17 = - t 0,99 ; 17 = - 2,567

E nossa RC é tudo que for MENOR que isso, já que estamos num teste unilateral inferior. Como nossa estatística de teste deu - 0,28 , ela cai fora da região crítica. Então não rejeitamos a hipótese nula!

Portanto, não podemos afirmar que a ração aumenta o peso das cobais.

Resposta

Não rejeita-se H 0 .

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