Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Desconhecidos

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Enunciado

Uma máquina A produz peças circulares cujos diâmetros D i devem obedecer a uma determinada especificação em m m , e uma outra máquina B foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são semelhantes, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente iguais em termos dos diâmetros delas.

Tomou-se uma amostra de 13 peças da máquina A e 15 peças da máquina B, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

Máquina A: X - A = 97   m m e S A = 10   m m ;

Máquina B: X - B = 94   m m e S B = 8   m m ;

a) Teste a hipótese se existe diferença entre a média dos diâmetros da máquina A ( μ A ) para a média dos diâmetros da máquina B ( μ B ), ao nível de significância de 10 % .

b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de 10 % se existe diferença entre a variância dos gastos da máquina A ( μ A ) para a variância dos gastos da máquina B ( μ B ).

Passo 1

b) No item (b) devemos testar as variâncias e, para isso, vamos recorrer ao teste F. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses do teste bilateral:

H 0 :       σ A 2 = σ B 2 H a :       σ A 2 ≠ σ B 2

Para comparar variâncias, temos que usar a variável F que segue a distribuição de Snedecor. A variável F é dada por

F = S A 2   σ B 2 S B 2   σ A 2   ~   f ν A ,     ν B

Temos também que

ν A = n A - 1 = 13 - 1 = 12

ν B = n B - 1 = 15 - 1 = 14 .

Passo 2

Um gráfico da distribuição é dado a seguir:

Como o teste é bilateral, a porcentagem da região central deve ser 1 - α , de modo que dividimos α / 2 para cada extremidade. Temos que calcular F m i n = F α / 2 e F m a x = F 1 - α / 2 .

Temos que

P F > F m a x = 0,10 2 = 0,05

Recorremos à tabela:

Portanto,

F m a x = 2,534

Já para o mínimo, temos

P F < F m i n = 0,10 2 = 0,05 → P F > F m i n = 1 - 0,05 = 0,95

A prova não forneceu a tabela para a distribuição com p = 0,95 . Mas olhando para a distribuição podemos perceber que F m i n deve ser muito pequeno, bem menor que 1 . Isso que vai nos importar como vou te mostrar no próximo passo!

Passo 3

Agora calculamos F o b s supondo que σ A = σ B (isso que queremos verificar no nosso teste):

F o b s = S A 2   σ B 2 S B 2   σ A 2 = S A S B 2 = 10 8 2 = 1,5625

Para que a hipótese H 0 seja aceita e as variâncias sejam compatíveis, devemos ter F m i n < F o b s < F m a x . Como F m a x = 2,534 , temos que F o b s < F m a x . Resta ver se F o b s > F m i n , o que é bem simples.

Apesar de não termos achado F m i n , concluímos que deve ser um número bem pequeno, menor que 1 . Com isso, a condição F o b s > F m i n é garantida. Portanto, as variâncias são compatíveis entre si!

Pronto! Finalizamos a questão 😉!

Até a próxima!

Resposta

b) As variâncias são compatíveis entre si.

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