Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Desconhecidos

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Enunciado

Uma nova técnica de impressão 3D foi desenvolvida. Para comparar a eficiência entre a técnica tradicional e a nova foi feita a análise amostral de 14 cubos impressos pelo método tradicional (método 1) e de 10 cubos impressos pelo novo método (método 2). Resultando nos seguintes dados:

x - 1 = 121   m i n

s 1 = 16   m i n

x - 2 = 112   m i n

s 2 = 15   m i n

Ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que a diferença nos tempos de secagem das técnicas é maior que 5   m i n ? Assuma que os desvios padrões populacionais são iguais.

Passo 1

Estamos num caso de teste de hipótese para comparação entre médias com desvio padrôes populacionais desconhecidos, porém iguais. Vamos seguir nosso passo a passo pra resolver casos como esse então!

Passo 2

Vamos começar definindo nossas hipóteses. Mas aqui o negócio vai ser um pouquinho diferente do que o que estamos acostumados! Lembra que normalmente escrevemos isso aqui:

H 0 :     μ 1 = μ 2

Como hipótese nula? E escrever isso aí, nada mais é que escrever:

H 0 :     μ 1 - μ 2 = 0

Correto? Show! Mas aqui nós queremos testar as médias para uma diferença específica. Nós queremos saber se a diferença é maior que 5   m i n . Então nossa hipótese nula teria que ser:

H 0 :     μ 1 - μ 2 = 5

E na alternativa, como queremos verificar se a diferença é realmente maior que 5 , é isso que testamos:

H 1 :     μ 1 - μ 2 > 5

Então estamos num teste unilateral superior!

Passo 3

Mas será que essas hipóteses meio estranhas vai mudar nossa estatística de teste? Quase nada! A única diferença é que temos que subtrair o valor da diferença que estamos testando no numerador da fórmula dela. Se liga só:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 - 5 s c 1 n + 1 m

Mesma coisa de antes só que com o -   5 ali em cima agora. Isso acontece porque na verdade a fórmula “completa” das estatísticas de teste para diferença entre parâmetros sempre inclui o valor da diferença dos parâmetros segundo a hipótese nula:

T t e s t e = x - 1 - x - 2 - ( μ 1 - μ 2 ) s c 1 n + 1 m

E como na nossa hipótese nula escrevemos que μ 1 - μ 2 = 5 , nosso T t e s t e fica com o -   5 ali no numerador. Nos outros testes que fizemos até agora esse termo não aparece porque sempre estávamos testando com μ 1 - μ 2 = 0 na hipótese nula! Então tínhamos uma subtração zero ali no numerador, que não mudava nada.

Esclarecido esse probleminha, podemos seguir o baile normalmente! Vamos calcular o desvio padrão combinado:

s c = n - 1 s 1 2 + m - 1 s 2 2 n + m - 2

s c = 14 - 1 16 2 + 10 - 1 15 ² 14 + 10 - 2 = 243,318 = 15,599

Calculando o T t e s t e :

T t e s t e = 121 - 1 1 2 - 5 15,599 1 14 + 1 10 = 0,619

Passo 4

Agora podemos calcular nosso ponto crítico, que para o teste unilateral superior é:

t c r i t i c o = t 1 - α

Sabemos que α = 0,05 (pois é pedido 5% de significância). Também sabemos que nosso grau de liberdade v é:

v = n + m - 2 = 14 + 10 - 2 = 22

Com isso procuramos na tabela:

t c r i t i c o = t 1 - 0,05 ;     22 = t 0,95 ;     22 = 1,7171

E tudo que for maior que isso vai ser RC, pois estamos num teste superior. Como T t e s t e vale 0,619 , nós caímos fora da RC, o que significa que não rejeitamos a hipótese nula!

Resposta

Não rejeita-se H 0 .

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