Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma força

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Enunciado

Um cavalo puxa uma carroça por uma estrada retilínea, exercendo uma força variável no tempo: F t = 3 + sen ⁡ t   N . A carroça se desloca com velocidade constante de 7   m / s .

  1. Ache o trabalho realizado pelo cavalo nos primeiros 30 segundos.
  2. Suponha agora que a velocidade é variável v t = 3 + t . Quanto vale o trabalho nos primeiros 5 minutos.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W é dado por:

W = ∫ F d s

Só que a velocidade v de deslocamento pode ser escrita em função do tempo t como:

v = d s d t         →         d s = v d t

Portanto, reescrevemos a expressão do trabalho como:

W = ∫ F   v d t

Passo 2

Com as informações do nosso problema, temos:

W = ∫ 0 30 ( 3 + sen ⁡ t )   7 d t = ∫ 0 30 ( 21 + 7 sen ⁡ t )   d t

E então:

W = ( 21 30 - 7 cos ⁡ ( 30 ) ) - ( 0 - 7 cos ⁡ 0 ) = 7 ( 91 - c o s ⁡ ( 30 ) )

Passo 3

Com a velocidade variável, o que temos que fazer é calcular a mesma integral com v t = 3 + t ao invés de v = 7 e avaliar em extremos diferentes pois agora foi pedido nos primeiros 5 minutos que são equivalentes a 300 segundos. Então vamos lá:

W = ∫ 0 300 3 + sen ⁡ t 3 + t d t = ∫ 0 300 ( 9 + 3 t + 3 sen ⁡ t + t sen ⁡ t )   d t

E pra resolver a integral de t sen ⁡ t , vamos usar a integração por partes.

Passo 4

Escolhendo u = t e d v = sen ⁡ t d t , vamos ter:

∫ t sen ⁡ t d t = - t cos ⁡ t - ∫ ( - cos ⁡ t ) d t = sen ⁡ t - t cos ⁡ t + C

Então:

W = 9 t + 3 t 2 2 - 3 cos ⁡ t + sen ⁡ t - t cos ⁡ t 0 300 = 137703 + sen ⁡ 300 - 303 cos ⁡ 300

Resposta

  1. W = 7 ( 91 - c o s ⁡ ( 30 ) )
  2. W = 137703 + sen ⁡ 300 - 303 cos ⁡ 300

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