Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma força

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 486 - 12

Suponha que o gás contido em um cilindro com área transversal A esteja sendo comprimido por um pistão. Se p for a pressão do gás em l i b r a s   p o r   p o l 2 e V o volume em p o l 3 , o trabalho realizado na compressão do gás, do estado ( p 1 , V 1 ) até o estado ( p 2 ,   V 2 ) é dado pela equação:

∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Use essa integral para determinar o trabalho realizado ao comprimir o gás de V 1 = 243   p o l 3 a V 2 = 32   p o l 3 , se p 1 = 50   l b / p o l 3 e p e V obedecem à lei dos gases p V 1,4 = c o n s t a n t e , para processos adiabáticos.

(Dica: Nas coordenadas sugeridas pela figura, d V = A d x . A força contra o pistão é p A )

Passo 1

Bem, ele quer o trabalho realizado para comprimir um gás de dado volume e dada pressão até outro estado. A integral a ser usada, ele já definiu no enunciado e é essa aqui embaixo:

∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Além disso, ele definiu a relação entre p e V nesse processo.

Nesse tipo de questão, o mais difícil é que, se p não é constante, ou seja, se p varia com o volume, temos que escrever p em função de V para poder integrar, já que a integral está definida para d V .

Nesse caso, ele deu a relação entre p e V . Então é essa relação que temos que usar para relacionar os dois e escrever p em função de V .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que eu vou fazer é justamente escrever p em função de V .

Ele diz que:

p V 1,4 = c o n s t a n t e

Então:

p = C V 1,4

Beleza, tá tudo muito bom, mas como achar essa constante C ?

Repara que no estado inicial do gás, ele dá as duas condições do gás p 1 e V 1 . Logo, temos como substituir na fórmula e encontrar C , não é mesmo?

Olha aqui:

  p 1 = 50   l b / p o l 3

V 1 = 243   p o l  

Substituindo na fórmula:

p = C V 1,4

50 = C 243 1,4 → C = 109350

Passo 3

Agora eu tenho que substituir na integral. Temos que lembrar que como a nossa variável de integração é V , os limites de integração devem ser dados em função de V .

Temos, do enunciado:

V 1 = 243   p o l 3

V 2 = 32   p o l 3

Logo:

∫ 243 32 109350 V 1,4 d V  

- ''

Passo 4

Resolvendo a integral:

∫ 243 32 109350 V 1,4 d V =   ∫ 243 32 109350   V - 1,4   d V

= 109350   V - 1,4 + 1 - 1,4 + 1 32 243

= 109350   V - 0,4 - 0,4 32 243 = - 109350   V - 0,4 0,4 32 243

= - 109350   32 - 0,4 0,4 - 243 - 0,4 0,4 = - 37968,75   i n . l b

O trabalho realizado pelo sistema é negativo porque se trata de uma compressão.

- ''

Resposta

W = 37968,75   i n . l b

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