Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma força

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 489 - 38

Dois elétrons longe um do outro r metros repelem-se com uma força de

F = 2,3.10 - 29 r 2     n e w t o n s

a Suponha que um elétron seja mantido fixo no ponto 1,0 no eixo x (unidades em metros). Quanto trabalho será necessário para deslocar um segundo elétron ao longo do eixo x do ponto - 1,0 para a origem.

b Suponha que um elétron seja mantido fixo em cada um dos pontos - 1,0 e 1,0 . Quanto trabalho será necessário para deslocar um terceiro elétron ao longo do eixo x de 5,0 a 3,0 ?

Passo 1

a A gente sabe que o trabalho será dado pela integral na distância do produto F o r ç a   x   d i s t â n c i a . Nesse problema, nossa variável de integração será r . Pela equação do trabalho, teremos:

W = a b F r d r

Onde o posição inicial será - 1,0 e a final será 0,0 . Assim, a distância r ao outro elétron em 1,0 inicialmente e no fim serão dadas por:

r i n i c i a l = 1 - - 1 = 2

r f i n a l = 1 - 0 = 1

Então, os limites de integração serão dados por:

W = 2 1 F r d r

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Passo 2

Substituindo a força, teremos:

W = 2 1 2,3.10 - 29 r 2 d r = 2 1 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 1 2

= - 2,3.10 - 29 1 - - 2,3.10 - 29 2 = - 2,3.10 - 29 2

= - 1,15 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 1,15 10 - 29   J

Passo 3

b Temos o mesmo princípio a ser aplicado nessa letra, apenas muda que calcularemos duas integrais ao invés de uma.

Em relação ao elétron em 1,0 , os valores de r inicial e final serão:

r i n i c i a l = 5 - 1 = 4

r f i n a l = 3 - 1 = 2

Para o em - 1,0 , serão:

r i n i c i a l = 5 - - 1 = 6

r f i n a l = 3 - - 1 = 4

O que teremos, então, será:

W = 4 2 F r d r + 6 4 F r d r

Por propriedades das integrais, teremos:

W = 4 2 F r d r + 6 4 F r d r = 6 2 F r d r

Passo 4

Substituindo a força, teremos:

W = 6 2 2,3.10 - 29 r 2 d r = 6 2 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 2 6

= - 2,3.10 - 29 2 - - 2,3.10 - 29 6 = - 2,3.10 - 29 3

= - 0,77 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 0,77 10 - 29   J

Resposta

a   W = 1,15 10 - 29   J

b   W = 0,77 10 - 29   J

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