Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

A duração ( Y ) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

f y = 2 y θ . e - y 2 θ       ,       o n d e   y > 0

Pede-se:

  1. Densidade de Z = Y 2 4 .
  1. Quem é esta densidade da variável aleatória Z ?
  2. P r o b ( Z ≥ 5 ) e P r o b ( 1 ≤ Z ≤ 2 ) , para θ = 2 .
  3. Média e variância de “ Z ”, para θ = 2 .

Passo 1

(a)

Vamos usar os métodos que aprendemos pra esses casos.

Sabemos que:

f y = 2 y θ . e - y 2 θ

E que Z = Y 2 4

Primeira coisa, inverter isso aí...

Y 2 = 4 . Z

Y = 2 . Z

Agora calculamos d y d z

d y d z = d 2 . z 1 2 d z

= z - 1 2

= 1 z

Pra terminar, usamos nosso método do jacobiano que diz..

g z = f y . d y d z

g ( z ) é a função de densidade de Z .

g z = 2 × 2 z θ . e ( - 2 2 ) 2 θ . 1 z

  g z = 4 θ . e - 4 z θ

(a)

Vamos usar os métodos que aprendemos pra esses casos.

Sabemos que:

f y = 2 y θ . e - y 2 θ

E que Z = Y 2 4

Primeira coisa, inverter isso aí...

Y 2 = 4 . Z

Y = 2 . Z

Agora calculamos d y d z

d y d z = d 2 . z 1 2 d z

= z - 1 2

= 1 z

Pra terminar, usamos nosso método do jacobiano que diz..

g z = f y . d y d z

g ( z ) é a função de densidade de Z .

g z = 2 × 2 z θ . e ( - 2 2 ) 2 θ . 1 z

  g z = 4 θ . e - 4 z θ

Passo 2

(b)

Bom, isso aqui é meio maldade, você tem que olhar pra g ( z ) e notar com qual função de densidade ela parece.

Olhando pra função de densidade da Exponencial, a gente tem..

f z = λ e - λ z  

Se você notar a semelhança, podemos dizer que λ = 4 θ . E com isso:

Z   ~   E x p o n e n c i a l   4 θ

Easy, se você tivesse a malícia sozinho. Mas agora já fica atento que isso é meio recorrente.

Passo 3

(c)

Pra ambos os casos, basta a gente integrar dentro do intervalo que ele tá pedindo.

Vamos calcular primeiro P ( Z > 5 ) .

Nesse caso o intervalo será ( 5 , + ∞ ) .

P Z > 5 = ∫ 5 + ∞ 4 θ . e - 4 z θ   d z

= 4 θ . e - 4 z θ - 4 θ 5 + ∞

= - e - 4 z θ 5 + ∞

Substituindo θ = 2 .

= - e - 4 ∞ 2 - - e - 10

= e - 10

= 4,54 × 10 - 5

Passo 4

Agora a mesma coisa para P ( 1 < Z < 2 ) .

P 1 < Z < 2 = ∫ 1 2 4 θ . e - 4 z θ   d z

= 4 θ . e - 4 z θ - 4 θ 1 2

= - e - 4 z θ 1 2

Substituindo θ = 2 .

= - e - 4 - - e - 2

= - e - 4 + e - 2

= 0,1170

Passo 5

(d)

Temos que calcular a esperança e a variância de Z .

Sabemos que Z segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 4 / θ .

A gente sabe também que qualquer variável que segue uma distribuição exponencial tem esperança e variância iguais a:

E Z = 1 λ

V a r Z = 1 λ 2

Só substituir...

E Z = 1 4 θ = θ 4 = 1 2

V a r Z = 1 4 θ 2 θ 2 16 = 1 4

Resposta

a g z = 4 θ . e - 4 z θ

b   Z   ~   E x p o n e n c i a l   4 θ

c   P Z > 5 = 4,54 × 10 - 5     ,       P 1 < Z < 2 = 0,1170

d   E Z = 1 2     ,       V a r Z = 1 4

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