Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

A duração Y , de componentes eletrônicos, é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

f ( y ) = 2 y θ e - y 2 θ ,   y > 0

Pede-se:

  1. Determine a densidade da v.a. Z = 2 3 Y 2
  2. Calcular P Z ≥ 4 e P - 2 ≤ Z ≤ - 1 , para θ = 2 . Detalhe todos os cálculos para chegar ao valor final

Passo 1

Como a questão já nos deu a função, vamos começar fazendo esta transformação de variáveis aleatórias contínuas. Para isto, vamos utilizar o método do jacobiano, que nos diz que:

g z = f y ⋅ d y d z

Sendo g z a função probabilidade que desejamos encontrar.

Nosso trabalho consiste em basicamente determinar quem é o termo d y / d z . Para isto, vamos relembrar qual é a transformação que queremos fazer:

z = 2 y 2 3

Agora, precisamos escrever y como uma função de z . Isto é, vamos isolar o termo y em um dos membros. Portanto:

z = 2 y 2 3

y 2 = 3 z 2

y = 3 z 2 = 6 z 2

Agora sim. Vamos derivar esta nossa função! Aplicando a regra da cadeia (derivada da função mais de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro), temos:

d y d z = 6 z 2 '

d y d z = 1 4 6 z ⋅ 6 z '

d y d z = 1 4 6 z ⋅ 6 = 6 4 6 z ⋅ 6 6 = 6 4 z

d y d z = 6 4 z

Pronto, a nossa função g z é então:

g z = f y ⋅ d x d y

g z = 2 y θ e - y 2 θ ⋅ 6 4 z

Como d y / d z é sempre positivo, pois estamos dentro de uma raiz quadrada (que é sempre positiva), podemos tirar o módulo. Portanto,

g z = 2 y θ e - y 2 θ ⋅ 6 4 z

E paramos por aqui?

Passo 2

Agora é o detalhe para finalizarmos a questão com chave de ouro. Vamos relembrar a nossa g z que obtivemos:

g z = 2 y θ e - y 2 θ ⋅ 6 4 z

Opa, olhando claramente vemos um pequeno problema. Não é que temos um y ali no meio de penetra? Temos que tomar cuidado para que isto não ocorra. Precisamos substituir este y pelo respectivo em z . Isto é, y = 3 z / 2 . Portanto, a nossa verdadeira função g y é:

g z = 2 ⋅ 6 z 2 θ e - 6 z / 2 2 θ ⋅ 6 4 z

g z = 6 ⋅ z θ e - 6 z 4 θ ⋅ 6 4 z

g z = 6 4 θ e - 6 z 4 θ = 3 2 θ e - 3 z 2 θ

Lembrando, a nossa função era a f y como dada na questão existia para y > 0 . Para valores de y ≤ 0 , o valor dele na verdade era 0 (implícito).

Portanto, a função densidade da variável aleatória será essa g z para z > 2 ⋅ 0 2 3 = 0 . Para valores de z < 0 , o valor da nossa função é igual a 0! Podemos melhor escrever a nossa função então da seguinte forma:

g z = 3 2 θ e - 3 z 2 θ ,     z > 0 0 ,     z ≤ 0

E esta é a função densidade da variável aleatória Z !

Passo 3

Vamos agora calcular a probabilidade de dois eventos: P Z ≥ 4 e P - 2 ≤ Z ≤ - 1 para a nossa função g z obtida anteriormente. Só que agora, iremos considerar θ = 2 . Fazendo esta substituição na função, para z > 0 , temos:

g z = 3 2 θ e - 3 z 2 θ

g z = 3 2 ⋅ 2 e - 3 z 2 ⋅ 2

g z = 3 4 e - 3 z 4

Agora, basta integrarmos a nossa g z no intervalo dado. Vamos calcular primeiro P Z ≥ 4 . Portanto,

∫ 4 ∞ g z d z = ∫ 4 ∞ 3 4 e - 3 z 4 d z = - e - 3 z 4 4 ∞ = - e - ∞ - - e - 3 4 ⋅ 4

0 - - e - 3 = e - 3

Portanto, a probabilidade P Z ≥ 4 = e - 3 .

Agora, vamos fazer o mesmo procedimento para P - 2 ≤ Z ≤ - 1 . Portanto,

∫ - 2 - 1 g z d z = ∫ - 2 - 1 0 ⋅ d z = 0

Eita, a probabilidade foi 0! Mas por que isto ocorreu? Simplesmente porque o valor da função neste intervalo é zero!

Desta forma, finalizamos a nossa questão!

Resposta

  1. g z = 3 2 4 θ e - 3 z 4 θ

  2. P Z ≥ 4 = e - 3 e P 2 ≤ Z ≤ - 1 = 0 .

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