Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

Uma variável aleatória discreta inteira k   possui distribuição uniforme no conjunto 0 , 1,2 ,   .   .   .   , 7 .

Definindo-se a variável aleatória X = π k 4 e Y = s e n X , os valores de E Y e E X Y < 0,5 são, respectivamente:

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Para essa questão precisamos calcular E Y   e   E X Y < 0,5 , mas primeiro precisamos descobrir a distribuição de Y   .

Passo 2

Vamos descobrir a distribuição de Y   .

O que sabemos de Y   ? Sabemos que Y = s e n X e X = π k 4 , como k   tem distribuição uniforme em 0 , 1,2 ,   .   .   .   , 7 , X   assume os seguintes valores:

  • π 0 4 ;   π 1 4 ;   π 2 4 ;   π 3 4 ;   π 4 4 ;   π 5 4 ;   π 6 4 ;   π 7 4 ;   (1)

Mas quais são suas probabilidades de ocorrência? Lembre que X   =   π 3 4   ⇔   k   =   3

E P k   =   3   =   1 8 . Dessa forma, temos que X   será uniformemente distribuído nos valores em (1)

Passo 3

Agora que conseguimos a distribuição de X   podemos calcular a de Y   .

Lembrando que Y = s e n X .

Para os possíveis valores de X   que calculamos no passo anterior, temos que os possíveis valores de Y   são:

s e n π 0 4 ;   s e n π 1 4 ;   s e n π 2 4 ;   s e n π 3 4 ;   s e n π 4 4 ;   s e n π 5 4 ;   s e n π 6 4 ;   s e n π 7 4  

Também conhecidos como:

  • 0 ;   2 2 ;   1 ;   2 2 ;   0 ;   2 2 ;   1   ;   2 2     (2)

Y   Pode assumir os valores presentes em (2) e suas probabilidades são: 1 8 ⋅ # q u e   o   n u m e r o   a p a r e c e isto é:

P Y   =   0   =   2 ⋅ 1 8

P Y   =   1   =   2 ⋅ 1 8

P Y   =   2 2   =   4 ⋅ 1 8

Passo 4

Caramba mesmo depois de tanta conta ainda não calculamos o que queremos que é E Y e E X Y < 0.5 .

Vamos começar pela E Y  

E Y   =   ∑ y ∈ 2   y P Y = y

=   0 ⋅ 1 4     +   1 ⋅ 1 4   +   2 2 ⋅ 1 2

=   1   +   2 4

Passo 5

Por fim, precisamos calcular E X Y < 0.5

Eita, mas como que calcula mesmo a esperança condicional? Vamos relembrar!

Como X | Y   é discreta, então.

E X Y   =   y   =   ∑ x   x P X = x Y = y

Onde P X = x Y =   y   = P X = x , Y = y P Y = y  

No nosso caso queremos E X Y < 0.5 , então basta substituirmos o sinal de igualdade pelo de desigualdade.

Passo 6

Como visto no passo anterior

E X Y < y = ∑ x   x P X = x Y < y

Onde P X = x Y < y = P X = x , Y < y P Y < y (definição de probabilidade condicional)

Vamos calcular P X   =   x , Y < 0.5 P Y < 0.5 para todos os possíveis valores de X  

Quem é P Y < 0,5 ? Vamos pensar com calma!

Bem ao analisarmos os possíveis valores de Y   que calculamos anteriormente temos que:

P Y < 0,5   =   P Y = 0

(pois Y só pode assume 3 valores dos quais só o zero é menor que 0.5)

  =   1 4

E quem é?   P X = x , Y < 0.5

  P X = x , Y < 0.5   =   P X = x , Y = 0

  =   P X = x , sin ⁡ X = 0

(Y foi definido como sendo |SinX|)

  =   P X = x , sin ⁡ X = 0

Mas essa probabilidade é nula para todo x   ≠   0   ou   π . Pois se     sin ⁡ X   = 0 então x = 0   ou   π

Então

E X Y < y = ∑ x   x P X = x Y < y

(ignorando os valores de x que sabemos que sua probabilidade será zero)

=   0 P X = 0 Y < y   +   π P X = π Y < 0.5

  π P X = π Y < 0.5

(usando a definição de distribuição condicional)

  =   π P X = π , Y = 0 P Y = 0

  =   π P X = π P Y = 0

(substituindo pelos valores calculados nos passos anteriores)

  =   π ⋅ 1 8 1 4

  =   π 2

Com isso terminamos mais uma questão! Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!! 😊

Resposta

  1   +   2 4 ;     π 2

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