Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

Ver Teoria

Enunciado

Seja X uma v.a. contínua com densidade normal de média μ = 0 e variância σ 2 > 0 . Determine a densidade de Y = X 2 2 - 2 .

Passo 1

Bom, nosso primeiro passo é se perguntar: qual é a função de probabilidade desta questão? Sabemos que ela atende uma distribuição normal, pois já foi informado no enunciado da questão. Portanto,

f x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2

Mas não só isso, sabemos também que a média é μ = 0 . Portanto,

f x = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2

Pronto. Esta é a nossa função!

Agora, precisamos fazer uma transformação de variáveis aleatórias contínuas. E para isto, vamos utilizar o método do jacobiano, que nos diz que:

g y = f x ⋅ d x d y

Sendo g y a função probabilidade que desejamos encontrar. Ah! Importante ressaltar que densidade e função probabilidade consiste na mesma coisa!

Passo 2

Vamos então utilizar agora o método do jacobiano. Precisamos determinar quem é esse d x / d y .

Para isto, vamos relembrar qual é a transformação que queremos fazer:

y = x 2 2 - 2

Agora, precisamos escrever X como uma função de Y . Isto é, vamos isolar o termo X em um dos membros. Portanto:

y + 2 = x 2 2

x 2 = 2 y + 4

x = 2 y + 4

Agora sim. Vamos derivar esta nossa função! Aplicando a regra da cadeia (derivada da função mais de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro), temos:

d x d y = 2 y + 4 '

d x d y = 1 2 2 y + 4 ⋅ 2 y - 4 '

d x d y = 1 2 2 y + 4 ⋅ 2

d x d y = 1 2 y + 4

Pronto, a nossa função g y é então:

g y = f x ⋅ d x d y

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

Como d x / d y é sempre positivo, pois estamos dentro de uma raiz quadrada (que é sempre positiva), podemos tirar o módulo. Portanto,

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

E paramos por aqui?

Passo 3

Agora é o detalhe para finalizarmos a questão com chave de ouro. Vamos relembrar a nossa g y que obtivemos:

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

Opa, olhando claramente, mais especial na nossa exponencial. Não é que temos um x ali no meio de penetra? Temos que tomar cuidado para que isto não ocorra. Precisamos substituir este x pelo respectivo em y . Isto é, x = 2 y - 4 . Portanto, a nossa verdadeira função g y é:

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 2 y - 4 σ 2 ⋅ 1 2 y - 4

Resposta

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 2 y - 4 σ 2 ⋅ 1 2 y - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre o teorema 7.16.
No Exercício 3.29, estávamos lidando com a distribuição do tamanho de uma importante partícula, com a distribuição do tamanho da partícula caracterizada por f x = { 3 x - 4 , x10 , c a s oc o n t r á
O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme para 49.75x50.25 libras.Determine a média, a variância do peso dos pacotes.Determine a função de distribuição cumulativa do pes
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ 1.5 ;5.5 ] . Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .Qual é P ( X2.5 ) ? Determine a função de distribuição cumulat
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ - 1 ;1 ] . Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .Determine o valor de x , tal que P ( - xXx ) - 0.90 . Determine