Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

Ver Teoria

Enunciado

A duração da variável aleatória ( X ) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

f x = 2 x θ exp ⁡ - x 2 θ

Onde x > 0 ;   θ é constante.

  1. Deduza a densidade da v.a. Y = 2 3 X ² . Pelo resultado, que tipo de distribuição podemos constatar?
  2. Ache a P r ⁡ ( Y ≤ 5 ) e P r ⁡ ( - 2 ≤ Y ≤ 3 ) , para θ = 2 .

Passo 1

a)

Vamos usar o método do jacobiano nessa aqui!

Primeiro temos que isolar o X :

Y = 2 3 X 2

X = 3 2 Y 1 2

Passo 2

Agora calculamos d x d y :

d x d y = 1 2 . 3 2 . 1 y

Passo 3

Pra finalizar, fazemos:

g y = f x . d x d y

g y = 2 3 2 y 1 2 θ . e - 3 2 y 1 2 2 θ . 1 2 . 3 2 . 1 y

Lembrando que o f ( x ) é a função dada pra gente no enunciado com X isolado no lugar do x que veio na função! Tá muito feio issaí, vamos simplificar:

g y = 2 3 y 2 θ . e - 3 y 2 θ . 1 2 . 3 2 y

g y = 3 2 θ . e - 3 y 2 θ

Passo 4

b)

Agora tem que rolar um pulinho de gato!

Essa função g ( y ) que a gente acabou de calcular segue uma distribuição exponencial, olha o formato dela! Onde λ = 3 2 θ .

Para calcular essas probabilidades então, lembrar do formato da FDA pra distribuição exponencial:

F x = 1 - e - λ x

Então nossa FDA fica:

F x = 1 - e - 3 2 θ x

Passo 5

Para calcular P ( Y ≤ 5 ) vamos fazer então:

P ⁡ Y ≤ 5 = F 5 = 1 - e - 3 2 θ × 5

É dado θ = 2 , ou seja:

F 5 = 1 - e - 3 2 × 2 × 5

F 5 = 0,9765

Passo 6

E agora a outra probabilidade:

P - 2 ≤ Y ≤ 3 = F 3 - F ( - 2 )

Mas você concorda comigo que a FDA de valores menores que 0 é 0?

Então:

P - 2 ≤ Y ≤ 3 = F 3 - 0 = F 3 = 0,8946

Resposta

Letra a)

g y = 3 2 θ . e - 3 y 2 θ

Letra b)

0,9765

0,8946

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre o teorema 7.16.
No Exercício 3.29, estávamos lidando com a distribuição do tamanho de uma importante partícula, com a distribuição do tamanho da partícula caracterizada por f x = { 3 x - 4 , x10 , c a s oc o n t r á
O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme para 49.75x50.25 libras.Determine a média, a variância do peso dos pacotes.Determine a função de distribuição cumulativa do pes
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ 1.5 ;5.5 ] . Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .Qual é P ( X2.5 ) ? Determine a função de distribuição cumulat
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ - 1 ;1 ] . Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .Determine o valor de x , tal que P ( - xXx ) - 0.90 . Determine