Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

Seja V a velocidade, medida em m/s, de um objeto de massa m = 5 k g   em movimento retilíneo. Suponha que V é uma variável aleatória contínua com densidade

f v = 1 5 - v 25 ,     s e - 5 < v < 5 , 0   ,                                       c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Calcule o valor esperado da energia cinética W = m V 2 2 .
  2. O objeto permanece com velocidade V durante 8 segundos, percorrendo X = 8 V metros. Calcule a variância de X .

Passo 1

(a)

Temos que calcular E W .

E W = E m V 2 2

De acordo com a fórmula da esperança de uma variável contínua

E X = ∫ - ∞ + ∞ x . f x   d x

e sendo m = 5 :

E m V 2 2 = ∫ - ∞ + ∞ 5 2 . v 2 . f v   d v

                                                  = 5 2 ∫ - 5 + 5 v 2 . 1 5 - v 25   d v

Por definição, v = v , para v > 0 e v = - v , para v < 0 , temos:

E m V 2 2 = 5 2 ∫ - 5 0 v 2 . 1 5 + v 25   d v + 5 2 ∫ 0 5 v 2 . 1 5 - v 25   d v =

Sendo:

5 2 ∫ - 5 0 v 2 . 1 5 + v 25   d v = 1 2 ∫ - 5 0 v 2   d v + 1 10 ∫ - 5 0 v 3   d v = v 3 6 + v 4 40 - 5 0 = + 125 6 - 625 40

= 125 6 - 125 8 = 500 24 - 375 24 = 125 24

De maneira análoga:

5 2 ∫ 0 5 v 2 . 1 5 - v 25   d v = v 3 6 - v 4 40 0 5 = 125 6 - 625 40 = 125 24

Logo:

E m V 2 2 = 125 24 + 125 24 = 125 12 = 10.41 J o u l e s

Passo 2

(b)

Temos:

X : d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   e m   m e t r o s

E queremos calcular V a r ( X ) .

A gente sabe que a distância é a velocidade vezes o tempo, então:

X = 8 V

E X = E 8 V = 8 E V

E V = ∫ - 5 5 v 5 - | v | 2 25   d v

= v 2 10 - v 3 75 - 5 5

= 0

E X = 8 × 0 = 0

Passo 3

A gente já sabe que:

V a r X = V a r ( 8 V )

                                    = 8 ² . V a r ( V )

Sabemos também que:

V a r V = E V 2 - E V 2

Sendo que E V = 0 , então:

V a r V = E ( V 2 )

E logo:

V a r X = 64 . E ( V 2 )

Passo 4

Pra facilitar as contas e você não precisar integrar de novo, você pudia perceber que:

W = 5 2 V 2

Então:

V ² = 2 5 W

Com isso,

E V 2 = 2 5 . E ( W )

A gente já calculou E W = 625 60 .

Passo 5

Pra concluir.

V a r X = 64 × 2 5 . E ( W )

V a r X = 64 × 2 5 × 625 60

V a r X = 800 3 = 266,67   m ²

Resposta

a   10,42   J o u l e s

b   266,67   m ²

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