Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de x pertencem aos Reais, e μ = 0 e σ 2 > 0 .

f x = 1 2 π σ ² e - ( x - μ ) ² 2 σ ²

Determine a função de densidade de probabilidade da v.a. Y = X 2 3 + 3 .

Passo 1

Nós conhecemos a função de densidade f ( x ) de uma variável X , e conhecemos a função Y ( x ) , que relaciona uma outra v.a. Y com X , e a questão quer saber a função de densidade g ( y ) .

Temos que usar transformação de v.a. então!

Como essa função aí é beeem complicadinha e é injetora, vamos usar o método do Jacobiano:

g y = f x . d x d y

Primeiro precisamos isolar X na função Y ( x ) :

Y = X 2 3 + 3

X = 3 Y - 9

Passo 2

Agora calculando d x d y , usando a regra da cadeia:

d x d y = 3 × 1 2 1 3 X - 9 = 3 2 3 X - 9

Passo 3

Substituindo tudo na fórmula:

g y = f x . d x d y

= 1 2 π σ ² e - ( x - μ ) ² 2 σ ² × 3 2 3 X - 9

= 3 e - x - μ 2 2 σ 2 2 ( 2 π σ 2 ) 3 X - 9

Resposta

3 e - x - μ 2 2 σ 2 2 ( 2 π σ 2 ) 3 X - 9

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