Exercícios Resolvidos de Transformações de Tensões

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Enunciado

Uma barra de ferro foi remendada segundo o ângulo mostrado na figura. Sabendo que ela será submetida aos esforços mostrados determine quais tensões apareceram no plano da emenda.

Passo 1

Vamos representar o nosso elemento infinitesimal de forma a trocar a nossa barra por um elemento que simbolize a ação do carregamento. Dessa forma teremos que o nosso elemento infinitesimal será

Também devemos rotacionar o nosso elemento de forma que a parede lateral do quadrado fique paralela a emenda da barra, que é exatamente o nosso plano orientado a 60°, logo as possíveis posições do nosso elemento serão

Passo 2

Sabemos também que as fórmulas que nos permitem calcular as tensões nesse plano são dadas por

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Em que o nosso elemento apresenta apenas σ x e θ .

Passo 3

Olhando novamente a nossa barra, teremos que

Sabemos que

σ x = N A

Em que

N = 40 K N = 40000 N

A = 20 x 40 = 800 c m 2 = 800.10 - 4 m 2 = 0,08 m 2

Substituindo teremos que

σ x = 40000 0,08 = 500000 P a = 500 K P a

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na nossa fórmula.

Passo 4

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

σ x = 500 K P a

E vamos testar para dois ângulos, primeiro com θ = - 60 ° e depois com θ = + 30 °

Passo 5

Primeiro com θ = + 30 °

σ ' x = ( 500 + 0 ) 2 + 500 - 0 2 C o s 2.30 ° + 0 . S e n 2.30 ° = 375 K P a

σ ' y = ( 500 + 0 ) 2 - 500 - 0 2 C o s 2.30 ° - 0 . S e n 2.30 ° = 125 K P a

τ x ' y ' = - 500 - 0 2 S e n 2.30 ° + 0 . C o s 2.30 ° = - 216,5 K P a

Primeiro com θ = - 60 °

σ ' x = ( 500 + 0 ) 2 + 500 - 0 2 C o s 2 . ( - 60 ° ) + 0 . S e n 2 . ( - 60 ° ) = 125 K P a

σ ' y = ( 500 + 0 ) 2 - 500 - 0 2 C o s 2 . ( - 60 ° ) - 0 . S e n 2 . ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = - 500 - 0 2 S e n 2 . ( - 60 ° ) + 0 . C o s 2 . ( - 60 ° ) = 216,5 K P a

Redesenhando o nosso elemento com as tensões encontradas teremos o seguinte estado de tensões

Marcando no desenho o plano que nos interessa teremos que

Podemos ver que a tensão que age no plano da emenda é dada pelas tensões que agem no plano azul do nosso desenho, assim podemos dizer que

σ ' x ( 30 ° ) = σ ' y ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = 216,5 K P a

Resposta

σ ' x ( 30 ° ) = σ ' y ( - 60 ° ) = 375 K P a

τ x ' y ' = 216,5 K P a

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