Exercícios Resolvidos de Transformações de Tensões

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Enunciado

O elemento infinitesimal abaixo está sujeito aos esforços mostrados. Determine quanto deve valer a tensão cisalhante para que a tensão em x seja o dobro da tensão em y quando o elemento estiver rotacionado de 45°no sentido anti-horário.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo

Sabemos que devemos garantir que as tensões no estado transformado e no eixo x sejam iguais ao dobro das tensões no eixo y, como sabemos que as fórmulas são

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Basta fazermos a igualdade que foi mencionada afim de que essas tensões sejam iguais, para isso faremos

σ ' x = 2 σ ' y

( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = 2 σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ = σ x + σ y - σ x - σ y C o s 2 θ - 2 τ x y S e n 2 θ

Isolando tudo em um lado teremos que

- ( σ x + σ y ) 2 + 3 σ x - σ y 2 C o s 2 θ + 3 τ x y S e n 2 θ = 0

Isolando as tensões teremos que

- σ x 2 - σ y 2 + 3 2 σ x C o s 2 θ - 3 2 σ y C o s 2 θ + 3 τ x y S e n 2 θ = 0

σ x - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ + σ y - 1 2 - 3 2 C o s 2 θ = - 3 τ x y S e n 2 θ

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ - σ y - 1 2 - 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ

Com isso teremos que a fórmula será

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ + σ y 1 2 + 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ

Passo 2

Agora que já temos a nossa fórmula basta que substituamos os valores, com isso teremos que

σ x = 5 a

σ y = 13 a

τ x y = b

θ a n t i - h o r a r i o = 45 °

Vamos substituir na equação que encontramos antes

σ x = - 3 τ x y S e n 2 θ + σ y 1 2 + 3 2 C o s 2 θ - 1 2 + 3 2 C o s 2 θ  

5 a = - 3 . b . S e n 2   .   45 ° + 13 . a . 1 2 + 3 2 C o s ( 2   .     45 ° ) - 1 2 + 3 2 C o s ( 2   .     45 ° )

5 a = - 3 . b . S e n 90 ° + 13 . a . 1 2 + 3 2 C o s ( 90 ° ) - 1 2 + 3 2 C o s ( 90 ° )

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a . 1 2 + 3 2 . 0 - 1 2 + 3 2 . 0

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a . 1 2 - 1 2

5 a = - 3 . b . 1 + 13 . a 2 - 1 2

- 5 a 2 = - 3 . b . 1 + 13 . a 2

- 5 a 2 - 13 . a 2 = - 3 . b

- 18 a 2 = - 3 . b

- 9 a = - 3 . b

b = 3 a

Logo teremos que

τ x y = 3 a

Agora vamos testar para ver se de fato fizemos correto.

Passo 3

Usando a nossa fórmula teremos que

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

σ x = 5 a

σ y = 13 a

τ x y = 3 a

θ a n t i - h o r a r i o = 45 °

σ ' x = ( 5 a + 13 a ) 2 + 5 a - 13 a 2 C o s 2 . 4 5 ° + 3 a . S e n 2 . 4 5 °

σ ' x = 9 a + 5 a - 13 a 2 C o s 90 ° + 3 a . S e n 90 °

σ ' x = 9 a + 5 a - 13 a 2 . 0 + 3 a . 1

σ ' x = 9 a + 3 a

σ ' x = 12 a

Se achamos que a tensão em x é de 12 a , sabemos que para estar correto a tensão em y deverá ser de 6 a , vamos testar então

σ ' y = ( 5 a + 13 a ) 2 - 5 a - 13 a 2 C o s 2 . 4 5 ° - 3 a . S e n 2 . 4 5 °

σ ' y = 9 a - 5 a - 13 a 2 C o s 90 ° - 3 a . S e n 90 °

σ ' y = 9 a - 5 a - 13 a 2 . 0 - 3 a . 1

σ ' y = 9 a - 3 a

σ ' y = 6 a

Logo de fato a conta que fizemos está correta, como o objetivo era determinar o valor do cisalhante, teremos que o nosso cisalhante deverá valer

τ x y = 3 a

Para que a nossa tensão no eixo x seja o dobro da tensão no eixo y quando girarmos o nosso elemento em 45° no sentido anti-horário.

Resposta

τ x y = 3 a

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