Exercícios Resolvidos de Transformações de Tensões

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Enunciado

Dado o elemento infinitesimal abaixo, determine o ângulo em que a tensão no eixo x será o quíntuplo da tensão cisalhante somado a tensão no eixo y.

Passo 1

Aqui é importante entender o que está ocorrendo

Sabemos que devemos garantir que as tensões no estado transformado e no eixo x sejam iguais ao quíntuplo das tensões cisalhantes somado a tensão no eixo y, como sabemos que as fórmulas são

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

Passo 2

Basta fazermos a igualdade que foi mencionada afim de que essas tensões sejam iguais, para isso faremos

σ ' x = 5 τ x ' y ' + σ ' y

σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

5 - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ + ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

- 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ + 5 . τ x y C o s 2 θ + ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Cortando as médias de ambos os lados teremos que

σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

=

- 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ + 5 . τ x y C o s 2 θ - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

Isolando tudo de um lado teremos que

σ x - σ y C o s 2 θ + 2 τ x y S e n 2 θ + 5 σ x - σ y 2 S e n 2 θ - 5 . τ x y C o s 2 θ = 0

Além da fórmula sabemos que

σ x = 7 a

σ y = 3 a

τ x y = 4 a

Substituindo na nossa equação teremos que

7 a - 3 a C o s 2 θ + 2 . 4 a . S e n 2 θ + 5 7 a - 3 a 2 S e n 2 θ - 5.4 a . C o s 2 θ = 0

4 a . C o s 2 θ + 8 a . S e n 2 θ + 10 a . S e n 2 θ - 20 a . C o s 2 θ = 0

1 8 a . S e n 2 θ - 16 a . C o s 2 θ = 0

Isolando a tangente teremos que

18 a . S e n 2 θ = 16 a . C o s 2 θ

T g 2 θ = 16 a 18 a = 16 18 = 8 9

Isolando o valor dos ângulos teremos que

T g 2 θ = 8 9

2 θ = 41,63 °

θ = 20,82 °

Agora que já determinamos o nosso ângulo, vamos testar na nossa fórmula para vermos se fizemos os cálculos corretamente.

Passo 3

Usando a nossa fórmula teremos que

σ ' x = ( σ x + σ y ) 2 + σ x - σ y 2 C o s 2 θ + τ x y S e n 2 θ

σ ' y = ( σ x + σ y ) 2 - σ x - σ y 2 C o s 2 θ - τ x y S e n 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 S e n 2 θ + τ x y C o s 2 θ

σ x = 7 a

σ y = 3 a

τ x y = 4 a

θ a n t i - h o r a r i o = 20,82 °

σ ' x = ( 7 a + 3 a ) 2 + 7 a - 3 a 2 C o s 2 . 20,82 ° + 4 a . S e n 2 . 20,82 °

σ ' x = 5 a + 2 a . C o s 41,63 ° + 4 a . S e n 41,63 °

σ ' x = 5 a + 1,4949 a + 2,6573 a

σ ' x = 9,1522 a

σ ' y = ( 7 a + 3 a ) 2 - 7 a - 3 a 2 C o s 2 . 20,82 ° - 4 a . S e n 2 . 20,82 °

σ ' y = 5 a - 2 a . C o s 41,63 ° - 4 a . S e n 41,63 °

σ ' y = 5 a - 1,4949 a - 2,6573 a

σ ' y = 0,8478 a

τ x ' y ' = - 7 a - 3 a 2 S e n 2 . 20,82 ° + 4 a . C o s 2 . 20,82 °

τ x ' y ' = - 2 a . S e n 41,63 ° + 4 a . C o s 41,63 °

τ x ' y ' = 1,6612 a

Vamos testar os valores na nossa fórmula para sabermos se os cálculos estão ok

σ ' x = 5 τ x ' y ' + σ ' y

σ ' x = 5   .     ( 1,6612 a ) + 0,8478 a

σ ' x = 5   .     1,6612 a + 0,8478 a = 9,1538 a

Como o valor que calculamos foi

σ ' x = 9,1522 a

Vemos que a pequena diferença acontece pelas aproximações que fizemos, como conseguimos provar que de fato os nossos cálculos estão corretos, conseguimos determinar o ângulo que satisfaz a nossa equação que nesse caso é

θ = 20,82 °

Resposta

θ = 20,82 °

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