Exercícios Resolvidos de Transformações de Tensões

Questão 1 da 2ª Prova Mecânica dos Materiais 1 - 2012.2 - Professores Alex e Éder - UnB. (Adaptado de Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 456-7.29.)

Para o estado de tensão mostrado, determine: ( a ) o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero e ( b ) a tensão normal correspondente.

Passo 1

O que está acontecendo?

O elemento da figura possui um estado plano de tensões com:

  • σ x = 12   M P a ;
  • σ y = 2   M P a ;
  • & τ x y desconhecido.

E o que é que o exercício quer saber?

Na letra ( a ) , ele quer saber qual deve ser o valor de τ x y para que a tensão de cisalhamento no plano da cola seja zero.

Então devemos tentar descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola!

Fazendo isso, vamos poder igualar essa tensão a zero e descobrir qual é o valor de τ x y correspondente.

Já na letra ( b ) , o exercício quer saber qual vai ser a tensão normal no plano da cola tendo em mente esse caso proposto no item a .

Então, para resolver o exercício...

Temos que fazer uma transformação de tensões nesse elemento com o objetivo de descrever a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola.

Isso envolve:

1. Definir um ângulo θ (positivo se for sentido anti-horário) de rotação que faça com que uma face do nosso elemento fique paralela ao plano da cola.

2. Aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento, usando esse ângulo θ definido no passo anterior:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen 2 θ + τ x y cos 2 θ

& 3. Igualar essa fórmula a zero, de tal forma que a gente possa isolar τ x y e descobrir qual deve ser seu valor.

Depois que isso tiver sido feito, vamos poder seguir para o item ( b ) , em que devemos:

1. Identificar se a tensão normal no plano da cola vai corresponder à tensão σ x ' ou σ y ' do elemento rotacionado.

(Isso depende do ângulo θ que tivermos escolhido.)

& 2. Aplicar a fórmula correspondente de transformação de tensões para a tensão normal:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ + τ x y sen 2 θ

ou…

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos 2 θ - τ x y sen 2 θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar definindo a rotação do nosso elemento.

Uma opção é rotacionar ele com um ângulo θ = - 15 ° , fazendo com que sua face direita fique paralela ao plano da cola:

E assim está definida a nossa rotação!

Passo 3

Agora que já definimos a rotação θ = - 15 ° , podemos aplicar a fórmula da transformação de tensões para a tensão de cisalhamento:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen 2 θ + τ x y cos 2 θ

Aí, substituindo σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a & θ = - 15 ° , essa fórmula fica assim:

τ x ' y ' = - 12 - 2 2 sen - 30 ° + τ x y cos - 30 °

Daí que, calculando tudo isso, encontramos que:

τ x ' y ' = 2,5 + 0,866 * τ x y

Passo 4

Descrita a tensão de cisalhamento τ x ' y ' no plano da cola, podemos agora igualá-la a zero para encontrar a tensão de cisalhamento τ x y original necessária para satisfazer essa condição.

Fazendo isso, vamos ter:

0 = 2,5 + 0,866 * τ x y

Isolando τ x y , encontramos que:

τ x y = - 2,5 0,866

O que dá:

τ x y = - 2,89   M P a

Que é a nossa resposta para a letra ( a ) .

Passo 5

Agora, para a letra ( b ) , podemos olhar de novo para a rotação que definimos:

Olhando para essa imagem, vemos que:

A tensão normal σ que vai atuar no plano da cola deve ser a mesma tensão normal que atua na face paralela ao plano da cola, que é a tensão σ na direção x ' .

Dessa forma, temos que a tensão normal σ no plano da cola vai ser dada pela fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ + τ x y sen 2 θ

Daí que, substituindo nessa fórmula σ x = 12   M P a , σ y = 2   M P a , τ x y = - 2,89   M P a & θ = - 15 ° , ela fica assim:

σ x ' = 12 + 2 2 + 12 - 2 2 cos - 30 ° + - 2,89 sen - 30 °

Calculando tudo isso, encontramos que:

σ x ' = 12,8   M P a

Ou seja, a tensão normal no plano da cola é uma tensão de tração de 12,8   M P a .

Resposta

a   τ x y = - 2,89   M P a

&

b   σ p l a n o   d a   c o l a = 12,8   M P a   (Tração)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas