Exercícios Resolvidos de Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-32.

Calcule:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2

Passo 1

Tá bem, a primeira coisa a fazer aqui é abrir aquele numerador:

1 + e - 2 s 2 = 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vai ficar:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2

Como a transformada inversa é linear:

L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 e - 2 s s + 2 + L - 1 e - 4 s s + 2

Passo 3

Para a primeira, temos a transformada inversa de 1 deslocada. O que desloca a transformada? A exponencial na função:

L f t e a t = L { f t } ( s - a )

Comparando essa fórmula com o nosso caso, temos a = - 2 e f t = 1 ...

L 1 e 2 t s = L 1 s - 2  

Como L 1 = 1 s , substituindo s - 2 no lugar de s ...

L 1 e 2 t = 1 s + 2  

Logo...

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Passo 4

Agora, além do deslocamento, temos uma exponencial. A exponencial na presença de um degrau na função:

L f ( t - c ) u ( t - c ) = e - c t L { f ( t ) }

Repare que não é só o degrau que surge, ele também desloca a função para seu ponto central. Então vai ficar:

L - 1 e - 2 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 ( t - 2 ) u ( t - 2 )

Vimos que:

L - 1 1 s + 2 t = e - 2 t

Logo:

L - 1 1 s + 2 t - 2 = e - 2 t - 2

Portanto:

L - 1 e - 2 s s + 2 = e - 2 t - 2 u ( t - 2 )

Passo 5

A mesmíssima coisa acontece para a outra transformada:

L - 1 e - 4 s s + 2 = e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Passo 6

Juntando tudo:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Resposta

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

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