Exercícios Resolvidos de Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

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Enunciado

Questão 2: Calcule L f t s e L - 1 F s t , conforme seja o caso:

e)

F s = s 2 e - s s 2 + 4 ,   s > 0

Passo 1

Primeiro vamos brincar com a nossa função para ver se chegamos a algo mais simpático e que conseguimos reconhecer à inversa!

F s = s 2 e - s s 2 + 4     →

Vamos ali no nominador, usar aquele bisu de somar e subtrai por 4 e - s ...

F s = s 2 e - s + 4 e - s - 4 e - s s 2 + 4   →

Assim...

F s = s 2 + 4 e - s - 4 e - s s 2 + 4 →

Podemos separar em duas frações que...

F s = s 2 + 4 e - s s 2 + 4 - 4 e - s s 2 + 4   →

Simplifica nisso aqui:

F s = e - s - 4 e - s s 2 + 4     →

Pow, colocando esses 4 em forma de 2 2 ...

F s = e - s - 2 2 e - s s 2 + 2 2     →

F s = e - s - 2 2 e - s s 2 + 2 2     →

Aplicando agora a Laplace inversa...

f t =   L - 1 e - s - 2 2 e - s s 2 + 2 2   →

f t = L - 1 e - s - 2 L - 1 2 s 2 + 2 2 e - s

Passo 2

Pow, de acordo lá com a nossa teoria, a Laplace inversa de e - s é um delta de Dirac:

L - 1 e - s = δ t - 1

Já a Laplace inversa desse cara aqui…

L - 1 2 s 2 + 2 2 e - s =

É a Laplace inversa desse termo em negrito, vezes um degrau unitário em t = 1 devido a esse produto por essa exponencial e - 1 s aí...

sin ⁡ 2 t ⋅ u 1 t

Passo 3

Pegando esses dois resultados e voltando para onde queremos estar…

f t = L - 1 e - s - 2 L - 1 2 s 2 + 2 2 e - s     →

f t = δ t - 1 - 2 sin ⁡ 2 t - 1 ⋅ u 1 t

f t = δ t - 1 - 2 sin ⁡ 2 t - 2 ⋅ u 1 t

Resposta

f t = δ t - 1 - 2 sin ⁡ 2 t - 2 ⋅ u 1 t