Exercícios Resolvidos de Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

Ver Teoria

Enunciado

(c) Determine a transformada de Laplace inversa da seguinte função:

F t = 2 t 3 - 2 t 2 + t e - t t 2 - 2 t + 2 t 2 - 1

Passo 1

Não se preocupe com esse t aí ao invés de s . Nada muda na prática! E, além disso, não se convenciona usar t em vez de s (geralmente você sempre vai usar o s mesmo), então na sua prova não sai escrevendo t em vez de s não, viu?

Para não confundir vamos determinar a inversa em x :

f x = L - 1 F t

Assim, vamos ter: f x = L - 1 2 t 3 - 2 t 2 + t t 2 - 2 t + 2 t 2 - 1 ⋅ e - t

Passo 2

Olhando assim de cara não dá para dizer qual é a inversa, então vamos separar isso aí usando frações parciais.

2 t 3 - 2 t 2 + t t 2 - 2 t + 2 t 2 - 1 = 2 t 3 - 2 t 2 + t t 2 - 2 t + 2 t + 1 t - 1

= A t + B t 2 - 2 t + 2 + C t + 1 + D t - 1

O grau no numerador vai ser no máximo um grau a menos que no denominador. Para determinar as constantes, vamos juntar tudo de novo:

A t + B t 2 - 2 t + 2 + C t + 1 + D t - 1

= A t + B t 2 - 1 + C t 2 - 2 t + 2 t - 1 + D t 2 - 2 t + 2 t + 1 t 2 - 2 t + 2 t + 1 t - 1

Agora, distribuímos o que está no numerador:

A t + B t 2 - 1 + C t 2 - 2 t + 2 t - 1 + D t 2 - 2 t + 2 t + 1

Temos, para cada parcela: A t + B t 2 - 1 = A t 3 - A t + B t 2 - B

C t 2 - 2 t + 2 t - 1 = C t 3 - 2 t 2 + 2 t - t 2 + 2 t - 2 = C t 3 - 3 C t 2 + 4 C t - 2 C

D t 2 - 2 t + 2 t + 1 = D t 3 - 2 t 2 + 2 t + t 2 - 2 t + 2 = D t 3 - D t 2 + 2 D

Assim, vamos ficar com:

= A t 3 - A t + B t 2 - B + C t 3 - 3 C t 2 + 4 C t - 2 C + D t 3 - D t 2 + 2 D t 2 - 2 t + 2 t + 1 t - 1

E juntamos os termos de mesmo grau:

A + C + D t 3 + B - 3 C - D t 2 + - A + 4 C t + - B - 2 C + 2 D t 2 - 2 t + 2 t + 1 t - 1

Agora podemos comparar os polinômios:

2 t 3 - 2 t 2 + t t 2 - 2 t + 2 t 2 - 1

= A + C + D t 3 + B - 3 C - D t 2 + - A + 4 C t + - B - 2 C + 2 D t 2 - 2 t + 2 t + 1 t - 1

Os polinômios no numerador só serão iguais, como desejamos, se os coeficientes forem iguais. Assim, montamos o sisteminha: A + C + D = 2 B - 3 C - D = - 2 - A + 4 C = 1 - B - 2 C + 2 D = 0

Vamos resolver isto. Pela terceira equação, temos: A = 4 C - 1

Substituindo na primeira: 4 C - 1 + C + D = 2

5 C + D = 3

D = 3 - 5 C

Substituindo na segunda, temos:

B - 3 C - 3 + 5 C = - 2

B = 1 - 2 C

Epa, agora substituindo na última:

- 1 + 2 C - 2 C + 6 - 10 C = 0

10 C = 5

C = 1 2

Agora, vamos substituindo o que encontramos nas equações anteriores:

B = 1 - 2 ⋅ 1 2 = 0

D = 3 - 5 2 = 1 2

A = 4 ⋅ 1 2 - 1 = 1

Legal, então vamos ter:

A t + B t 2 - 2 t + 2 + C t + 1 + D t - 1 = t t 2 - 2 t + 2 + 1 2 ⋅ 1 t + 1 + 1 2 ⋅ 1 t - 1

Passo 3

Com isso podemos reescrever a transformada inversa da seguinte forma:

f x = L - 1 2 t 3 - 2 t 2 + t t 2 - 2 t + 2 t 2 - 1 ⋅ e - t

f x = L - 1 t t 2 - 2 t + 2 + 1 2 ⋅ 1 t + 1 + 1 2 ⋅ 1 t - 1 ⋅ e - t

Usando a linearidade do operador, obtemos: f x = L - 1 t t 2 - 2 t + 2 ⋅ e - t + 1 2 L - 1 1 t + 1 ⋅ e - t + 1 2 L - 1 1 t - 1 ⋅ e - t

Vamos analisar cada inversa separadamente. Começamos com:

L - 1 1 t + 1 ⋅ e - t

“Esquecemos” a exponencial por enquanto e calculamos a inversa da função que a multiplica. Por tabela, temos que:

L e - a x = 1 t + a

Assim, teremos: L - 1 1 t + 1 = e - x  

Agora, por tabela também, temos que: L - 1 1 t + 1 ⋅ e - t = L - 1 1 t + 1 x - 1 u 1 x

Ou seja: L - 1 1 t + 1 ⋅ e - t = e - x - 1 u 1 x

Da mesma forma, vamos achar:

L - 1 1 t - 1 ⋅ e - t = e x - 1 u 1 x

Faltou então:

L - 1 t t 2 - 2 t + 2 ⋅ e - t

Para encontrar essa aí, vamos completar quadrado: t t 2 - 2 t + 2 = t - 1 + 1 t 2 - 2 t + 1 + 1 = t - 1 t - 1 2 + 1 + 1 t - 1 2 + 1

Assim, temos:

L - 1 t t 2 - 2 t + 2 ⋅ e - t = L - 1 t - 1 t - 1 2 + 1 ⋅ e - t + L - 1 1 t - 1 2 + 1 ⋅ e - t

Por tabela, temos que: L e c x cos ⁡ a x = t - c t - c 2 + a 2

Assim:

L - 1 t - 1 t - 1 2 + 1 = e x cos ⁡ x

E por conta da exponencial, teremos:

L - 1 t - 1 t - 1 2 + 1 ⋅ e - t = e x - 1 cos ⁡ x - 1 u 1 t

Também temos que:

L e c x sen ⁡ a x = a t - c 2 + a 2

L - 1 1 t - 1 2 + 1 ⋅ e - t = e x sen ⁡ x

Assim:

L - 1 1 t - 1 2 + 1 ⋅ e - t = e x - 1 sen ⁡ x - 1 u 1 t

Passo 4

Agora substituímos tudo que encontramos:

f x = L - 1 t t 2 - 2 t + 2 ⋅ e - t + 1 2 L - 1 1 t + 1 ⋅ e - t + 1 2 L - 1 1 t - 1 ⋅ e - t

f x = e x - 1 cos ⁡ x - 1 u 1 x + e x - 1 sen ⁡ x - 1 u 1 x + 1 2 e - x - 1 u 1 x + 1 2 e x - 1 u 1 x

E essa é nossa resposta final. 😊

Resposta

f x = e x - 1 cos ⁡ x - 1 u 1 x + e x - 1 sen ⁡ x - 1 u 1 x + 1 2 e - x - 1 u 1 x + 1 2 e x - 1 u 1 x