Exercícios Resolvidos de Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-34.

Calcule:

L - 1 e - π s 2 s s 2 + 4

Passo 1

Temos uma exponencial na transformada. Ela indica que a função que a gente quer determinar está deslocada e multiplicada por um degrau:

L - 1 e - c s F ( s ) = f ( t - c ) u ( t - c )

Comparando:

F s = s s 2 + 4

E c = π / 2 . Teremos o formato:

L - 1 e - π / 2 s F ( s ) = f ( t - π / 2 ) u ( t - π / 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sendo f ( t ) a inversa de F ( s ) e comparando com a transformada do cosseno:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Vemos que:

f t = L - 1 F s = L - 1 s s 2 + 4 = cos ⁡ ( 2 t )

Então:

f t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π

Lembrando da formula de adição de arcos

cos ⁡ 2 t - π = cos ⁡ 2 t cos ⁡ π + s e n 2 t s e n π = - cos ⁡ 2 t

f t - π 2 = - cos ⁡ 2 t

Passo 3

Então, substituindo:

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

Resposta

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

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