Exercícios Resolvidos de Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

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Enunciado

Determine a inversa da transformada de Laplace das seguintes funções de s .

1 s s - 1 ; 1 s 2 s - 1 ; 1 s 3 s - 1 ; 1 s s - a 2 ; e - π s s 2 + 1 ; s e π s 2 s 2 + 4

Passo 1

Vamos resolver uma transformada inversa por passo. Para encontrar o que queremos, precisamos decompor as transformadas em transformadas simples que conhecemos.

Para o primeiro, queremos: L - 1 1 s s - 1

Como:

L 1 = 1 s ; L 1 s - 1 = L 1 s - 1 = e t

Conhecemos a transformada inversa ambas: L - 1 1 s = 1 ; L - 1 1 s - 1 = e t

Mas não é válido supor que a inversa que estamos buscando é o produto dessas. Então precisamos decompor

L - 1 1 s s - 1

Nas transformadas que conhecemos. Para isso, vamos usar frações parciais. Temos que: 1 s s - 1 = A s + B s - 1

Então, se acharmos A e B , conseguimos achar a inversa a partir das transformadas que conhecemos. Para achar, juntamos tudo novamente e comparamos coeficientes:

1 s s - 1 = A s - 1 + B s s s - 1

Juntando termos de mesmo grau: 1 s s - 1 = A s - A + B s s s - 1 = A + B s - A s s - 1   Agora, comparamos os coeficientes: 1 s s - 1 = 0 s + 1 s s - 1 = A + B s - A s s - 1

E temos o sistema: A + B = 0 - A = 1

Resolvendo, encontramos: A = - 1 B = 1

Assim:

1 s s - 1 = - 1 s + 1 s - 1

E, a transformada inversa será:

L - 1 1 s s - 1 = L - 1 - 1 s + 1 s - 1 = - L - 1 1 s + L - 1 1 s - 1

L - 1 1 s s - 1 = e t - 1

Passo 2

Usando a mesma lógica do passo anterior, conhecemos: L - 1 1 s 2 = 1 t ; L - 1 1 s - 1 = e t

Então separamos:

L - 1 1 s 2 s - 1

Em transformadas inversas conhecidas. Usando frações parciais:

1 s 2 s - 1 = A s 2 + B s + C s - 1

Já que, de forma geral: 1 s n ( a x + b ) = A 1 s n + A 2 s n - 1 + … + A n s + B a x + b

Então, para achar os valores das constantes, juntamos tudo: 1 s 2 s - 1 = A s 2 + B s + C s - 1 = A s - 1 + B s s - 1 + C s 2   s 2 s - 1  

Juntamos termos de mesmo grau: A s - 1 + B s s - 1 + C s 2   s 2 s - 1 = A s - A + B s 2 - B s + C s 2   s 2 s - 1

= B + C s 2 + A - B s - A   s 2 s - 1 = 0 s 2 + 0 s + 1 s 2 s - 1

Comparando, temos o sistema:

B + C = 0 A - B = 0 - A = 1

Resolvendo, obtemos:

A = - 1 B = - 1 C = 1

Logo, teremos:

1 s 2 s - 1 = A s 2 + B s + C s - 1 = - 1 s 2 + - 1 s + 1 s - 1

Logo, temos que:

L - 1 1 s 2 s - 1 = L - 1 - 1 s 2 + - 1 s + 1 s - 1

= - L - 1 1 s 2 - L - 1 1 s + L - 1 1 s - 1

Usando as transformadas inversas do início do passo e sabendo que:

L - 1 1 s = 1

Uma vez que:

L 1 = 1 s

Temos então: L - 1 1 s 2 s - 1 = - t - 1 + e t

Passo 3

Para esse passo, vamos usar informações que pegamos dos passos anteriores. Repare que:

1 s 3 s - 1 = 1 s 1 s 2 s - 1

E vimos que:

1 s 2 s - 1 = - 1 s 2 + - 1 s + 1 s - 1

Logo: 1 s 3 s - 1 = - 1 s 3 - 1 s 2 + 1 s s - 1

Além disso, anteriormente vimos que: 1 s s - 1 = - 1 s + 1 s - 1

Logo, temos:

1 s 3 s - 1 = - 1 s 3 - 1 s 2 - 1 s + 1 s - 1

Opa! Poupamos certo trabalho, não é mesmo? Bem, de cara temos: L - 1 1 s 3 s - 1 = L - 1 - 1 s 3 - 1 s 2 - 1 s + 1 s - 1

= - L - 1 1 s 3 - L - 1 1 s 2 - L - 1 1 s + L - 1 1 s - 1

As três últimas inversas são conhecidas. Quanto a primeira, temos que: L t n = n ! s n + 1  

Então, para n = 2 :

L t 2 = 2 ! s 3 = 2 s 3

Logo:

L - 1 2 ! s 3 = t 2

Que está quase no que a gente quer. Como a transformada inversa também é linear:

L - 1 2 ! s 3 = L - 1 2 s 3 = 2 L - 1 1 s 3 = t 2

Assim: L - 1 1 s 3 = t 2 2

Opa! Agora é substituir:

L - 1 1 s 3 s - 1 = - t 2 2 - t - 1 + e t

Passo 4

Para essa aqui não tem muito jeito, vamos ter que usar frações parciais novamente:

L - 1 1 s s - a 2

Queremos decompor: 1 s s - a 2 = A s + B s - a 2 + C s - a

Para achar as constantes, juntamos tudo novamente: 1 s s - a 2 = A s - a 2 + B s + C s s - a s s - a 2 =

Juntamos agora termos de mesmo grau para comparar: A s - a 2 + B s + C s s - a s s - a 2 = A s 2 - 2 a s + a 2 + B s + C s 2 - a s s s - a 2

A s 2 - 2 a A s + a 2 A + B s + C s 2 - a C s s s - a 2 = A + C s 2 + B - 2 a A - a C s + a 2 A s s - a 2

Devemos tratar aqui a como um valor conhecido, ou seja, deixa tudo em função de a mesmo. Legal, vamos compara os coeficientes então:

A + C s 2 + B - 2 a A - a C s + a 2 A s s - a 2 = 0 s 2 + 0 s + 1 s s - a 2

Assim, temos o sistema:

A + C = 0 B - 2 a A - a C = 0 a 2 A = 1

Resolvendo, obtemos: A = 1 a 2 ; B = 1 a ; C = - 1 a 2

Portanto, temos que:

1 s s - a 2 = A s + B s - a 2 + C s - a

= 1 a 2 ⋅ 1 s + 1 a s - a 2 - 1 a 2 s - a

Então:

L - 1 1 s s - a 2 = L - 1 1 a 2 ⋅ 1 s + 1 a s - a 2 - 1 a 2 s - a

= 1 a 2 L - 1 1 s + 1 a L - 1 1 s - a 2 - 1 a 2 L - 1 1 s - a

Já vimos antes que: L - 1 1 s = 1

Além disso, temos:

L - 1 1 s - a

como sendo a transformada anterior deslocada a unidades, o que anuncia uma exponencial aí. De fato, temos: L e a t = L 1 s - a = 1 s - a

Logo:

L - 1 1 s - a = e a t

Finalmente, temos que:

L t e a t = L t s - a = 1 s - a 2

Assim, temos:

L - 1 1 s - a 2 = t e a t

Então: L - 1 1 s s - a 2 = 1 a 2 + t e a t a - e a t a 2

Passo 5

Temos aí que: L - 1 e - π s s 2 + 1 = L - 1 e - π s ⋅ 1 s 2 + 1

Temos aí que: L - 1 1 s 2 + 1 = sen ⁡ t

E esta exponencial dentro da transformada, soa como um degrau. Em geral, temos que: L f t - c U t - c = e - c s L f t

Então: L sen ⁡ t - π U t - π = e - π s s 2 + 1

Que é exatamente nossa transformada. Logo:

L - 1 e - π s s 2 + 1 = sen ⁡ t - π U t - π

Dá para simplificar mais isso aí, como: sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

Temos:

sen ⁡ t - π = sen ⁡ t cos ⁡ π - sen ⁡ π cos ⁡ t

sen ⁡ t - π = - sen ⁡ t

Então:

L - 1 e - π s s 2 + 1 = - sen ⁡ t U t - π

Passo 6

Aqui a lógica é muito parecida com o passo anterior. Temos que: L - 1 s e π s 2 s 2 + 4 = L - 1 e π s 2 ⋅ s s 2 + 4

Como, de forma geral:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Então temos que: L - 1 s s 2 + 4 = cos ⁡ 2 t

Além disso, essa exponencial soa como um degrau, em que: L cos ⁡ 2 t + π 2 U t + π 2 = e - π s s 2 + 1

Assim temos:

L - 1 s e π s 2 s 2 + 4 = U t + π 2 ⋅ L - 1 s s 2 + 4 t + π 2 =

= cos ⁡ 2 t + π 2 U t + π 2

Podemos também simplificar. Como:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Temos: cos ⁡ 2 t + π 2 = cos ⁡ 2 t + π = cos ⁡ 2 t ⋅ cos ⁡ π - sen ⁡ 2 t ⋅ sen ⁡ π

= - cos ⁡ 2 t

Portanto:

L - 1 e π s 2 ⋅ s s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t U t + π 2

Resposta

L - 1 1 s s - 1 = e t - 1

L - 1 1 s 2 s - 1 = - t - 1 + e t

L - 1 1 s 3 s - 1 = - t 2 2 - t - 1 + e t

L - 1 1 s s - a 2 = 1 a 2 + t e a t a - e a t a 2

L - 1 e - π s s 2 + 1 = - sen ⁡ t U t - π

L - 1 e π s 2 ⋅ s s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t U t + π 2