Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace e Função de Transferência

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Enunciado

Obter o valor de lim t → ∞ ⁡ y ( t ) , se houver, para as funções abaixo, justificando a resposta. Em todos os casos a   ∈   R e impor as condições necessárias sobre o parâmetro da equação quando for o caso.

a) Y s = 1 s + a s - a . 1 s  

b) Y s = s - a s + a . 1 s

c) Y s = 1 s + a . ω s 2 + ω 2

Passo 1

Falou de valor de lim t → ∞ ⁡ y ( t ) , já podemos abrir o sorriso. Pois poderemos utilizar o TVF.

lim t → ∞ ⁡ f ( t ) = lim s → 0 ⁡ s F ( s )

Contudo, devemos lembrar que para aplicar o Teorema do Valor Final (TVF) e o lim t → ∞ ⁡ f t exista, precisamos verificar duas condições:

1) As raízes do denominador do lim s → 0 ⁡ s F ( s ) , devem ter parte real negativa.

2) O sinal de excitação deve ser limitado.

Agora vamos lá verificar essas condições.

Passo 2

a) Aplicando o TVF:

lim s → 0 ⁡ s F ( s ) = lim s → 0 ⁡ s 1 s + a s - a . 1 s   = lim s → 0 ⁡ 1 s + a s - a = - 1 a 2

Contudo ao verificar as condições para que o lim t → ∞ ⁡ f t exista, verificamos as raízes do polinômio s + a s - a são:

s 1 = + a   ,   s 2 = - a

Como existe raízes do polinômio do denominador com raízes positivas, o lim t → ∞ ⁡ f t não existe.

Passo 3

b) Aplicando o TVF:

lim s → 0 ⁡ s F ( s ) = lim s → 0 ⁡ s s - a s + a . 1 s   = lim s → 0 ⁡ s - a s + a = - 1

Verificando as condições para que o lim t → ∞ ⁡ f t exista:

1) A raiz do polinômio s + a é s 1 = - a , logo sendo parte real negativa, essa condição está satisfeita.

2)O sinal de excitação nesse contexto é o termo:

X s = 1 s

Que está multiplicado ao termo:

H s = s - a s + a

Como X ( s ) é o sinal de excitação degrau unitário, um sinal limitado, essa condição também está satisfeita.

Logo, lim t → ∞ ⁡ f t =   - 1

Passo 4

c) Aplicando o TVF:

lim s → 0 ⁡ s F ( s ) = lim s → 0 ⁡ s 1 s + a . ω s 2 + ω 2   = lim s → 0 ⁡ s s + a . ω s 2 + ω 2 = 0

Verificando as condições para que o lim t → ∞ ⁡ f t exista:

1) A raiz do polinômio s + a ( s 2 + ω 2 ) é s 1 = - a , s 2 , s 3 =   ± i ω , como s 2 , s 3 não tem parte real negativa, esta condição não está satisfeita.

2)O sinal de excitação nesse contexto é o termo:

X s = ω s 2 + ω 2

Que está multiplicado ao termo:

H s = 1 s + a

Como X ( s ) é o sinal de excitação harmônico, um sinal não limitado, essa condição também não está satisfeita.

Então, o lim t → ∞ ⁡ f t não existe.

Resposta

a )   lim t → ∞ ⁡ f t não existe.

b) lim t → ∞ ⁡ f t =   - 1 .

c)     lim t → ∞ ⁡ f t não existe.