Exercícios Resolvidos de Velocidade Terminal

Elaboração própria

Mostre matematicamente que é possível explorar a velocidade terminal para separar partículas de iguais tamanho e morfologia imersas em um mesmo fluido e que diferem apenas no material.

Suponha C D constante.

Passo 1

Basicamente, essa questão está perguntando se partículas de iguais tamanho e morfologia imersas em um mesmo fluido e que diferem apenas no material têm velocidades terminais diferentes.

O que vou fazer é chamar uma partícula de 1 e outra de 2 e escrever as velocidades terminais delas, de forma genérica:

v t 1 → = 2 * V * ρ 1 - ρ * b → A * ρ * C D

v t 2 → = 2 * V * ρ 2 - ρ * b → A * ρ * C D

Repara que eu chamei a densidade da 1 de ρ 1 e a da 2 de ρ 2 . Vou considerar que 1 é a mais densa, ou seja, ρ 1 > ρ 2 .

Agora, vamos comparar essas duas velocidades. Vou escrever uma do lado da outra e, como ainda não sei se essas velocidades são = , > o u < , vou colocar uma interrogação entre elas. O objetivo do problema vai ser determinar qual sinal matemático a interrogação é.

2 * V * ρ 1 - ρ * b → A * ρ * C D       ?       2 * V * ρ 2 - ρ * b → A * ρ * C D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos buscar formas de simplificar o problema, ver o que é constante, jogar pra fora da raiz e sair cortando coisas dos dois lados.

Primeiro de tudo, tanto a área projetada A como o volume V podem ser escritos como uma constante (que depende da morfologia da partícula) vezes uma potência do diâmetro. Para o volume, essa constante é o fator de forma C ; para a área projetada, não tem nenhuma constante específica, então bora dizer que essa constante é K .

2 * ( C 1 * d 1 3 ) * ρ 1 - ρ * b → ( K 1 * d 1 2 ) * ρ * C D 1       ?       2 * ( C 2 * d 2 3 ) * ρ 2 - ρ * b → ( K 2 * d 2 2 ) * ρ * C D 2

Agora começamos a cortar as coisas haha:

  • Se as partículas têm a mesma morfologia: C 1 = C 2 = C e K 1 = K 2 = K  
  • Se as partículas têm o mesmo tamanho: d 1 = d 2
  • Estando as partículas no mesmo fluido, estamos com iguais ρ   e   μ
  • Nada foi falado sobre diferentes campos de força em cada caso, daí b → é um só

ρ 1 - ρ C D 1       ?       ρ 2 - ρ C D 2

Cortei tudo que era igual, mas repara que não podia cortar esse ρ do numerador porque ele tá dentro de um parêntesis então não tenho como tirar ele da raiz pra cortar. O enunciado diz para assumir C D constante, daí:

ρ 1 - ρ       ?       ρ 2 - ρ

Como ρ 1 > ρ 2 e ρ é igual:

ρ 1 - ρ   >   ρ 2 - ρ

Daí:

v t 1 > v t 2

Ou seja, provamos que quanto mais densa (maior ρ S ) a partícula, maior a velocidade terminal dela.

Passo 3

“Mas, Marcelo, o enunciado diz que C D é pra ser assumido constante...por que você não cortou logo ele junto com os outros?” Só porque quero comentar um pouco mais sobre eles com você haha. O que a questão pediu já acabou lá no passo 2.

Vimos lá na teoria que C D depende de R e p e Φ , isto é, C D = C D R e p , Φ   . Como a morfologia é igual nos dois casos, sobra apenas R e p pra analisar. A fórmula do R e p é

R e p = ρ * v * d μ

Escrevendo pras duas partículas:

R e p 1 = ρ * v t 1 * d 1 μ   ?     ρ * v t 2 * d 2 μ = R e p 2

Já vimos que ρ ,   μ e os diâmetros são iguais:

R e p 1 ∝ v t 1   ?     v t 2 ∝ R e p 2 Assumindo C D constante, vimos que v t 1 >   v t 2 , daí:

R e p 1 > R e p 2

Um spoiler do próximo capítulo é que conforme R e p aumenta, C D ou diminui ou fica constante; nunca aumenta. Ou seja, quem tiver velocidade terminal maior teria menor C D , já que estamos avaliando todos outros termos do R e p iguais e Φ iguais. Daí, voltando pra:

ρ 1 - ρ C D 1       ?       ρ 2 - ρ C D 2

Como C D 1 ≥ C D 2 , e os C D estão no denominador, o lado esquerdo poderia ficar maior ainda.

E pra que eu falei isso tudo do C D ? Pra você NÃO pensar que ficaria tipo um cabo de guerra entre v t e C D . O que acontece, na verdade, é que eles vão por mesmo lado: se v t aumenta, C D diminuir, contribuindo pra v t aumentar.

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